Upprepad procentuell förändring

Bråk, decimaltal och procent

XYZKVADTK

Flera förändringar efter varandra multipliceras ihop – de adderas aldrig.

Formler

slutvärde = startvärde × f₁ × f₂ × … × f_n

Varje förändring får sin egen förändringsfaktor, och faktorerna multipliceras med varandra.

lika stora förändringar: slutvärde = startvärde × fⁿ

n är antalet perioder. Ett kapital på 20 000 kr med 5 % ränta i 3 år blir 20 000 × 1,05³.

total förändring i procent = (f_total − 1) × 100

Faktorerna 1,2 och 0,8 ger tillsammans 0,96, vilket motsvarar en minskning med 4 %.

Så fungerar det

Procentsatser kan inte adderas. En ökning med 20 procent följd av en minskning med 20 procent tar inte ut varandra, eftersom den andra procentsatsen räknas på ett annat belopp än den första. Med siffror: 100 blir 120 efter ökningen, och 20 procent av 120 är 24, så resultatet blir 96. Sammanlagt en minskning med 4 procent.

Med förändringsfaktorer syns detta direkt: 1,20 × 0,80 = 0,96. Faktorn 0,96 betyder 4 procents minskning. Det spelar ingen roll i vilken ordning förändringarna sker, eftersom multiplikation är kommutativ – 0,80 × 1,20 ger samma sak.

Många lika steg

När samma förändring upprepas period efter period blir faktorn upphöjd till antalet perioder. Det är samma mekanism i ränta på ränta, i befolkningstillväxt och i halveringstider. En årlig ökning med 10 procent under tre år ger faktorn 1,1³ = 1,331, alltså 33,1 procents total ökning – inte 30.

Skillnaden mot att addera växer med antalet perioder och med procentsatsens storlek. Vid små procenttal och få perioder ligger summan nära, vilket gör att felet inte alltid syns, men på KVA är det ofta precis den lilla skillnaden uppgiften bygger på.

Att svara rätt

Slutfaktorn måste översättas tillbaka. Faktorn 1,157 betyder en ökning med 15,7 procent, inte 115,7 procent. Dra alltid bort ettan innan du anger förändringen i procent.

Räknade exempel

Exempel 1 Priset på en vara höjs först med 25 procent och sänks därefter med 20 procent. Hur har priset förändrats totalt?

Lösning. Höjningen ger faktorn 1,25 och sänkningen faktorn 0,80. Tillsammans blir det 1,25 × 0,80 = 1,00, alltså exakt utgångspriset. Priset är oförändrat. Med siffror: 100 kronor blir 125 kronor, och 20 procent av 125 är 25, så priset går tillbaka till 100. Att procentsatserna skiljer sig åt men ändå tar ut varandra beror på att de räknas på olika belopp – 25 av 100 och 25 av 125.

Exempel 2 På ett konto sätts 20 000 kronor in. Räntan är 5 procent per år och läggs till kapitalet varje årsskifte. Hur mycket finns på kontot efter tre år?

Lösning. Varje år multipliceras kapitalet med faktorn 1,05. Efter första året: 20 000 × 1,05 = 21 000 kronor. Efter andra året: 21 000 × 1,05 = 22 050 kronor. Efter tredje året: 22 050 × 1,05 = 23 152,50 kronor. Samma sak i ett steg är 20 000 × 1,05³. Räknar man i stället 3 × 5 = 15 procent på insättningen får man 23 000 kronor, alltså drygt 150 kronor för lite – räntan på räntan saknas.

Vanliga fällor

Att addera procentsatserna: 20 % upp och 20 % ner ger 0,96 av utgångsvärdet, alltså 4 % mindre.
Att räkna varje periods förändring på ursprungsvärdet i stället för på det senast uppdaterade värdet.
Att tro att ordningen spelar roll – 1,2 × 0,8 och 0,8 × 1,2 ger samma slutvärde.
Att svara med faktorn i stället för förändringen: 1,157 är en ökning med 15,7 %, inte 115,7 %.

Läs mer

Andra begrepp i bråk, decimaltal och procent:

Bråkets delar, förkorta och förlänga Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk Räkning med decimaltal Omvandling mellan bråk, decimaltal och procent Andelen, delen och det hela Procentuell förändring och förändringsfaktor Procent eller procentenheter Förhållanden och proportioner

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF