Formelblad att skriva ut

Räkneordning och parenteser

• ( ) → xⁿ → × och ÷ → + och −
• a × (b + c) = a × b + a × c
• a − (b − c) = a − b + c

Negativa tal

• a − (−b) = a + b
• (−a) × (−b) = a × b och (−a) × b = −(a × b)
• (−a)² = a² och (−a)³ = −a³

Udda och jämna tal

• jämnt tal: 2n · udda tal: 2n + 1
• jämn + jämn = jämn · udda + udda = jämn · jämn + udda = udda
• jämn × valfritt = jämn · udda × udda = udda

Delbarhet och delbarhetsregler

• a är delbart med b om a = b × k för något heltal k
• 2: jämn slutsiffra · 3: siffersumman delbar med 3 · 4: de två sista siffrorna delbara med 4 · 5: slutar på 0 eller 5 · 6: delbart med både 2 och 3 · 9: siffersumman delbar med 9 · 10: slutar på 0
• a = b × k + r, där 0 ≤ r < b

Primtal och primtalsfaktorisering

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
• N = p₁^a × p₂^b × …
• antal positiva delare = (a + 1)(b + 1) …

Potenser och potenslagar

• a^m × aⁿ = a^m+n
• a^m ÷ aⁿ = a^m−n
• (a^m)ⁿ = a^m×n och (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
• a⁰ = 1 och a⁻ⁿ = 1aⁿ
• 8² = (2³)² = 2⁶
• (−a)ⁿ är positivt för jämnt n och negativt för udda n

Kvadratrötter

• √a × √a = a och (√a)² = a
• √(a × b) = √a × √b och √(a ÷ b) = √a ÷ √b
• √(a + b) ≠ √a + √b
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225
• √N ligger mellan a och a + 1 om N ligger mellan a² och (a + 1)²

Överslagsräkning och avrundning

• siffran efter 0–4 → avrunda nedåt · siffran efter 5–9 → avrunda uppåt
• × 5 = × 10 ÷ 2 · × 25 = × 100 ÷ 4 · ÷ 5 = × 2 ÷ 10

Enheter och prefix

• milli 0,001 · centi 0,01 · deci 0,1 · kilo 1 000 · mega 10⁶ · giga 10⁹
• 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² · 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 liter
• 1 h = 60 min = 3 600 s och 1 m/s = 3,6 km/h

Bråkets delar, förkorta och förlänga

• ab, där a är täljare, b är nämnare och b ≠ 0
• a × kb × k = ab
• ab < cd om a × d < c × b (för positiva b och d)

Addition och subtraktion av bråk

• ac + bc = a + bc
• ab + cd = a × d + c × bb × d
• MGN(6, 8) = 24

Multiplikation och division av bråk

• ab × cd = a × cb × d
• ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c
• andel ”av” ett tal betyder gånger: 23 av 12 = 23 × 12 = 8

Räkning med decimaltal

• 0,1 = 110 · 0,01 = 1100 · 0,001 = 11000
• antal decimaler i produkten = summan av antalet decimaler i faktorerna
• a ÷ b = (a × 10ⁿ) ÷ (b × 10ⁿ)

Omvandling mellan bråk, decimaltal och procent

• p % = p100
• bråk → decimal: täljaren dividerad med nämnaren
• decimal → procent: × 100 · procent → decimal: ÷ 100
• 12 = 50 % · 13 ≈ 33,3 % · 14 = 25 % · 15 = 20 % · 18 = 12,5 % · 23 ≈ 66,7 % · 34 = 75 %

Andelen, delen och det hela

• andelen = delen ÷ det hela
• delen = andelen × det hela
• det hela = delen ÷ andelen
• andel av en andel: a % av b % = a100 × b100
• 1 % av N = N ÷ 100 och 10 % av N = N ÷ 10

Procentuell förändring och förändringsfaktor

• nytt värde = gammalt värde × förändringsfaktor
• ökning med p %: faktor = 1 + p100
• minskning med p %: faktor = 1 − p100
• förändring i procent = (nytt − gammalt) ÷ gammalt

Upprepad procentuell förändring

• slutvärde = startvärde × f₁ × f₂ × … × f_n
• lika stora förändringar: slutvärde = startvärde × fⁿ
• total förändring i procent = (f_total − 1) × 100

Procent eller procentenheter

• förändring i procentenheter = nytt procenttal − gammalt procenttal
• förändring i procent = (nytt − gammalt) ÷ gammalt × 100

Förhållanden och proportioner

• a : b = ab
• ab = cd ger a × d = b × c
• delarna a : b av totalen T blir T × aa + b och T × ba + b
• omvänd proportionalitet: a × b = konstant

Termer, faktorer och förenkling

• 3x² + 5x − 4
• ax + bx = (a + b)x
• x + x = 2x medan x × x = x²
• det dubbla av x: 2x · fem mer än x: x + 5 · en tredjedel av x: x ÷ 3

Att utveckla parenteser

• a(b + c) = ab + ac
• −(b + c) = −b − c
• −a(b − c) = −ab + ac
• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Kvadrerings- och konjugatregeln

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²
• 99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1 = 9 999

Faktorisering och att bryta ut

• ab + ac = a(b + c)
• a² − b² = (a + b)(a − b)
• x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

Algebraiska bråk

• ab + cd = ad + bcbd
• ab × cd = acbd och ab ÷ cd = adbc
• k × ak × b = ab, där k inte är 0
• nämnaren ≠ 0

Förstagradsekvationer

• ax + b = c ger x = c − ba
• Om A = B så är A + k = B + k
• Om A = B så är kA = kB, där k inte är 0
• x2 + x3 = 5 blir 3x + 2x = 30

Ekvationssystem med två obekanta

• ax + by = c och dx + ey = f
• y = k − x sätts in i ax + by = c
• (x + y) + (x − y) = 2x

Andragradsekvationer

• x² + px + q = 0 ger x = −p2 ± √(p2² − q)
• Om A × B = 0 så är A = 0 eller B = 0
• x² = a ger x = √a eller x = −√a

Olikheter

• Om a < b så är a + c < b + c
• Om a < b och c > 0 så är ac < bc
• Om a < b och c < 0 så är ac > bc
• −2x < 6 ger x > −3

Att ställa upp ekvationen ur en text

• ”x ökat med 5” = x + 5 medan ”5 mindre än x” = x − 5
• ”dubbelt så många som x” = 2x, ”hälften av x” = x2
• ”x ökar med 20 %” = 1,20x och ”x minskar med 20 %” = 0,80x
• ”om 5 år” = x + 5 och ”för 3 år sedan” = x − 3
• sträcka = hastighet × tid, totalpris = styckpris × antal

Vinklar och vinkelsummor

• v₁ + v₂ + v₃ = 180°
• v + u = 180°
• Vid parallella linjer: likbelägna vinklar lika, alternatvinklar lika
• y = v₁ + v₂
• (n − 2) × 180°

Trianglar och deras egenskaper

• A = (b × h) ÷ 2
• v₁ + v₂ + v₃ = 180°
• Likbent triangel: lika långa sidor ger lika stora basvinklar
• a + b > c
• 45°–45°–90°: 1 : 1 : √2 · 30°–60°–90°: 1 : √3 : 2
• A = (s² × √3) ÷ 4

Pythagoras sats

• a² + b² = c²
• c = √(a² + b²)
• a = √(c² − b²)
• c = a × √2
• 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17

Likformighet

• a₂ ÷ a₁ = b₂ ÷ b₁ = k
• Areaskala = k² och volymskala = k³
• v₁ = u₁ och v₂ = u₂

Area och omkrets

• Rektangel: A = b × h och O = 2 × (b + h)
• Triangel: A = (b × h) ÷ 2
• Parallellogram och romb: A = b × h
• Parallelltrapets: A = ((a + b) × h) ÷ 2
• 1 m² = 10 000 cm²

Cirkeln

• O = 2 × π × r = π × d
• A = π × r²
• Båglängd = (v ÷ 360) × 2 × π × r
• Sektorns area = (v ÷ 360) × π × r²
• Tangent: vinkeln mellan tangenten och radien är 90°

Volym och begränsningsarea

• Rätblock: V = l × b × h och B = 2 × (lb + lh + bh)
• Prisma och cylinder: V = basytan × h. Cylinder: V = π × r² × h
• Kon och pyramid: V = (basytan × h) ÷ 3
• Klot: V = (4 × π × r³) ÷ 3 och A = 4 × π × r²
• Längdskala k ger areaskala k² och volymskala k³

Skala

• Skala 1:n
• Verklig längd = uppmätt längd × n
• Areaskala = (längdskala)² och volymskala = (längdskala)³

Koordinatsystem och avstånd

• (x, y)
• d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
• M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 , (y₁ + y₂) ÷ 2)

Räta linjens ekvation

• y = kx + m
• k = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
• m = y − kx
• k₁ = k₂

Direkt och omvänd proportionalitet

• y = kx
• y ÷ x = k
• y = k ÷ x
• x × y = k

Att läsa av grafer

• Förändring = y₂ − y₁
• Genomsnittlig förändring = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
• Hastighet = sträcka ÷ tid
• Procentuell förändring = (nytt − gammalt) ÷ gammalt

Andragradsfunktioner och parabler

• y = ax² + bx + c
• a > 0 ger dalparabel, a < 0 ger bergparabel
• x = −b ÷ (2a)
• x = −(p ÷ 2) ± √((p ÷ 2)² − q)
• x_vändpunkt = (x₁ + x₂) ÷ 2

Medelvärde, median och typvärde

• medelvärde = summan av alla värden ÷ antalet värden
• summa = medelvärde × antal
• median = det mittersta värdet när talen står i storleksordning
• sammanslaget medelvärde = (summa₁ + summa₂) ÷ (antal₁ + antal₂)

Variationsbredd och spridning

• variationsbredd = största värdet − minsta värdet
• alla värden + k → medelvärdet + k, variationsbredden oförändrad
• alla värden × k → medelvärdet × k, variationsbredden × k

Sannolikhetens grunder

• P = antal gynnsamma utfall ÷ antal möjliga utfall
• P(inte A) = 1 − P(A)
• P(A och B) = P(A) × P(B)
• P(A eller B) = P(A) + P(B)

Kombinatorik

• antal sätt = n₁ × n₂ × … × n_k
• ordnat urval av k ur n = n × (n − 1) × … med k faktorer
• oordnat urval = ordnat urval ÷ k!

Beroende händelser och dragning utan återläggning

• P(A och sedan B) = P(A) × P(B när A redan inträffat)
• utan återläggning: nämnaren minskar med 1 för varje dragning
• P(minst en) = 1 − P(ingen)

Så avgör du om informationen räcker

• Två obekanta storheter kräver två oberoende villkor

Logiska slutledningar

• ”Om P, så Q” säger samma sak som ”Om inte Q, så inte P”
• ”Om P, så Q” säger ingenting om ”Om Q, så P”
• Motsatsen till ”alla A är B” är ”minst ett A är inte B”

Att hitta motexempel

Ett enda motexempel räcker för att slå ut ett påstående som ska gälla alla tal.

Tabellavläsning

Rätt rad, rätt kolumn, rätt enhet – de flesta tabellfel är avläsningsfel, inte räknefel.

Diagramtyper och vad de visar

Stapel, linje, cirkel och punktdiagram svarar på olika frågor – och luras på olika sätt.

Kartläsning

• verkligt avstånd = uppmätt avstånd på kartan × skalans nämnare
• 1 cm i skala 1:50 000 = 50 000 cm = 500 m = 0,5 km
• skalstock: km per cm = utsatt kilometertal ÷ stockens längd i cm

Andelar och procent ur diagram

• andel = delen ÷ det hela
• delen = andel × det hela
• andel av en cirkelsektor = gradtal ÷ 360
• procentuell förändring = (nytt värde − gammalt värde) ÷ gammalt värde

Flerstegsberäkningar

Uppgifter som kräver flera avläsningar innan man får räkna – planera ordningen först.

Uppskattning och storleksordning

• 10 % av ett tal = talet ÷ 10, och 1 % = talet ÷ 100
• x % av y = y % av x