Formelblad att skriva ut

Räkneordning och parenteser

• ( ) → xⁿ → × och ÷ → + och −
• a × (b + c) = a × b + a × c
• a − (b − c) = a − b + c

Negativa tal

• a − (−b) = a + b
• (−a) × (−b) = a × b och (−a) × b = −(a × b)
• (−a)² = a² och (−a)³ = −a³

Udda och jämna tal

• jämnt tal: 2n · udda tal: 2n + 1
• jämn + jämn = jämn · udda + udda = jämn · jämn + udda = udda
• jämn × valfritt = jämn · udda × udda = udda

Delbarhet och delbarhetsregler

• a är delbart med b om a = b × k för något heltal k
• 2: jämn slutsiffra · 3: siffersumman delbar med 3 · 4: de två sista siffrorna delbara med 4 · 5: slutar på 0 eller 5 · 6: delbart med både 2 och 3 · 9: siffersumman delbar med 9 · 10: slutar på 0
• a = b × k + r, där 0 ≤ r < b

Primtal och primtalsfaktorisering

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
• N = p₁^a × p₂^b × …
• antal positiva delare = (a + 1)(b + 1) …

Potenser och potenslagar

• a^m × aⁿ = a^m+n
• a^m ÷ aⁿ = a^m−n
• (a^m)ⁿ = a^m×n och (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
• a⁰ = 1 och a⁻ⁿ = 1/aⁿ
• 8² = (2³)² = 2⁶
• (−a)ⁿ är positivt för jämnt n och negativt för udda n

Kvadratrötter

• √a × √a = a och (√a)² = a
• √(a × b) = √a × √b och √(a ÷ b) = √a ÷ √b
• √(a + b) ≠ √a + √b
• 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225
• √N ligger mellan a och a + 1 om N ligger mellan a² och (a + 1)²

Överslagsräkning och avrundning

• siffran efter 0–4 → avrunda nedåt · siffran efter 5–9 → avrunda uppåt
• × 5 = × 10 ÷ 2 · × 25 = × 100 ÷ 4 · ÷ 5 = × 2 ÷ 10

Enheter och prefix

• milli 0,001 · centi 0,01 · deci 0,1 · kilo 1 000 · mega 10⁶ · giga 10⁹
• 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² · 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 liter
• 1 h = 60 min = 3 600 s och 1 m/s = 3,6 km/h

Bråkets delar, förkorta och förlänga

• a/b, där a är täljare, b är nämnare och b ≠ 0
• (a × k)/(b × k) = a/b
• a/b < c/d om a × d < c × b (för positiva b och d)

Addition och subtraktion av bråk

• a/c + b/c = (a + b)/c
• a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d)
• MGN(6, 8) = 24

Multiplikation och division av bråk

• a/b × c/d = (a × c)/(b × d)
• a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c)
• andel ”av” ett tal betyder gånger: 2/3 av 12 = 2/3 × 12 = 8

Räkning med decimaltal

• 0,1 = 1/10 · 0,01 = 1/100 · 0,001 = 1/1000
• antal decimaler i produkten = summan av antalet decimaler i faktorerna
• a ÷ b = (a × 10ⁿ) ÷ (b × 10ⁿ)

Omvandling mellan bråk, decimaltal och procent

• p % = p/100
• bråk → decimal: täljaren dividerad med nämnaren
• decimal → procent: × 100 · procent → decimal: ÷ 100
• 1/2 = 50 % · 1/3 ≈ 33,3 % · 1/4 = 25 % · 1/5 = 20 % · 1/8 = 12,5 % · 2/3 ≈ 66,7 % · 3/4 = 75 %

Andelen, delen och det hela

• andelen = delen ÷ det hela
• delen = andelen × det hela
• det hela = delen ÷ andelen
• andel av en andel: a % av b % = (a/100) × (b/100)
• 1 % av N = N ÷ 100 och 10 % av N = N ÷ 10

Procentuell förändring och förändringsfaktor

• nytt värde = gammalt värde × förändringsfaktor
• ökning med p %: faktor = 1 + p/100
• minskning med p %: faktor = 1 − p/100
• förändring i procent = (nytt − gammalt) ÷ gammalt

Upprepad procentuell förändring

• slutvärde = startvärde × f₁ × f₂ × … × f_n
• lika stora förändringar: slutvärde = startvärde × fⁿ
• total förändring i procent = (f_total − 1) × 100

Procent eller procentenheter

• förändring i procentenheter = nytt procenttal − gammalt procenttal
• förändring i procent = (nytt − gammalt) ÷ gammalt × 100

Förhållanden och proportioner

• a : b = a/b
• a/b = c/d ger a × d = b × c
• delarna a : b av totalen T blir T × a/(a + b) och T × b/(a + b)
• omvänd proportionalitet: a × b = konstant

Termer, faktorer och förenkling

• 3x² + 5x − 4
• ax + bx = (a + b)x
• x + x = 2x medan x × x = x²

Att utveckla parenteser

• a(b + c) = ab + ac
• −(b + c) = −b − c
• −a(b − c) = −ab + ac
• (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Kvadrerings- och konjugatregeln

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a − b)² = a² − 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²

Faktorisering och att bryta ut

• ab + ac = a(b + c)
• a² − b² = (a + b)(a − b)
• x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

Algebraiska bråk

• a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)
• (a/b) × (c/d) = ac/(bd)
• (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/(bc)
• (k × a)/(k × b) = a/b, där k inte är 0

Förstagradsekvationer

• ax + b = c ger x = (c − b)/a
• Om A = B så är A + k = B + k
• Om A = B så är kA = kB, där k inte är 0

Ekvationssystem med två obekanta

• ax + by = c och dx + ey = f
• y = k − x sätts in i ax + by = c
• (x + y) + (x − y) = 2x

Andragradsekvationer

• x² + px + q = 0 ger x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
• Om A × B = 0 så är A = 0 eller B = 0
• x² = a ger x = √a eller x = −√a

Olikheter

• Om a < b så är a + c < b + c
• Om a < b och c > 0 så är ac < bc
• Om a < b och c < 0 så är ac > bc
• −2x < 6 ger x > −3

Att ställa upp ekvationen ur en text

• ”x ökat med 5” = x + 5 medan ”5 mindre än x” = x − 5
• ”dubbelt så många som x” = 2x, ”hälften av x” = x/2
• ”x ökar med 20 %” = 1,20x och ”x minskar med 20 %” = 0,80x
• sträcka = hastighet × tid, totalpris = styckpris × antal

Vinklar och vinkelsummor

• v₁ + v₂ + v₃ = 180°
• (n – 2) × 180°
• v + u = 180°
• y = v₁ + v₂

Trianglar och deras egenskaper

• A = (b × h) ÷ 2
• v₁ + v₂ + v₃ = 180°
• a + b > c
• A = (s² × √3) ÷ 4

Pythagoras sats

• a² + b² = c²
• c = √(a² + b²)
• a = √(c² – b²)
• c = a × √2
• 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17

Likformighet

• a₂ ÷ a₁ = b₂ ÷ b₁ = k
• Areaskala = k²
• Volymskala = k³
• v₁ = u₁ och v₂ = u₂

Area och omkrets

• Rektangel: A = b × h och O = 2 × (b + h)
• Triangel: A = (b × h) ÷ 2
• Parallellogram: A = b × h
• Parallelltrapets: A = ((a + b) × h) ÷ 2
• 1 m² = 10 000 cm²

Cirkeln

• O = 2 × π × r = π × d
• A = π × r²
• Båglängd = (v ÷ 360) × 2 × π × r
• Sektorns area = (v ÷ 360) × π × r²

Volym och begränsningsarea

• Rätblock: V = l × b × h och B = 2 × (lb + lh + bh)
• Prisma och cylinder: V = basytan × h. Cylinder: V = π × r² × h
• Cylinderns begränsningsarea: B = 2 × π × r² + 2 × π × r × h
• Klot: V = (4 × π × r³) ÷ 3 och A = 4 × π × r²
• Kon och pyramid: V = (basytan × h) ÷ 3

Skala

• Skala 1:n
• Verklig längd = uppmätt längd × n
• Areaskala = (längdskala)²
• Volymskala = (längdskala)³

Koordinatsystem och avstånd

• (x, y)
• d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
• M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 , (y₁ + y₂) ÷ 2)

Räta linjens ekvation

• y = kx + m
• k = (y₂ – y₁) ÷ (x₂ – x₁)
• m = y – kx
• k₁ = k₂

Direkt och omvänd proportionalitet

• y = kx
• y ÷ x = k
• y = k ÷ x
• x × y = k

Att läsa av grafer

• Förändring = y₂ – y₁
• Genomsnittlig förändring = (y₂ – y₁) ÷ (x₂ – x₁)
• Hastighet = sträcka ÷ tid
• Procentuell förändring = (nytt – gammalt) ÷ gammalt

Andragradsfunktioner och parabler

• y = ax² + bx + c
• a > 0 ger dalparabel, a < 0 ger bergparabel
• x = –b ÷ (2a)
• x = –(p ÷ 2) ± √((p ÷ 2)² – q)
• x_vändpunkt = (x₁ + x₂) ÷ 2

Medelvärde, median och typvärde

• medelvärde = summan av alla värden ÷ antalet värden
• summa = medelvärde × antal
• median = det mittersta värdet när talen står i storleksordning
• nytt medelvärde = (gammal summa + nytt värde) ÷ (gammalt antal + 1)

Variationsbredd och spridning

• variationsbredd = största värdet - minsta värdet
• alla värden + k ger medelvärde + k och oförändrad variationsbredd
• alla värden × k ger medelvärde × k och variationsbredd × k

Sannolikhetens grunder

• P = antal gynnsamma utfall ÷ antal möjliga utfall
• P(inte A) = 1 - P(A)
• P(A och B) = P(A) × P(B)
• P(A eller B) = P(A) + P(B)

Kombinatorik

• antal sätt = n₁ × n₂ × … × n_k
• n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 1
• ordnat urval av k ur n = n × (n-1) × … × (n-k+1)
• oordnat urval av k ur n = ordnat urval ÷ k!

Beroende händelser och dragning utan återläggning

• P(A och sedan B) = P(A) × P(B när A redan inträffat)
• utan återläggning: nämnaren minskar med 1 för varje dragning
• P(minst en) = 1 - P(ingen)

Så avgör du om informationen räcker

I NOG avgör du om frågan går att besvara – du ska aldrig räkna fram svaret.

Logiska slutledningar

• ”Om A, så B” säger samma sak som ”Om inte B, så inte A”
• ”Om A, så B” säger ingenting om ”Om B, så A”

Att hitta motexempel

Ett enda motexempel räcker för att slå ut ett påstående som ska gälla alla tal.

Tabellavläsning

Rätt rad, rätt kolumn, rätt enhet – de flesta tabellfel är avläsningsfel, inte räknefel.

Diagramtyper och vad de visar

Stapel, linje, cirkel och punktdiagram svarar på olika frågor – och luras på olika sätt.

Kartläsning

• verkligt avstånd = uppmätt avstånd på kartan × skalans nämnare
• 1 cm i skala 1:50 000 = 50 000 cm = 500 m = 0,5 km

Andelar och procent ur diagram

• andel = delen ÷ det hela
• delen = andel × det hela
• andel av en cirkelsektor = gradtal ÷ 360
• procentuell förändring = (nytt värde - gammalt värde) ÷ gammalt värde

Flerstegsberäkningar

Uppgifter som kräver flera avläsningar innan man får räkna – planera ordningen först.

Uppskattning och storleksordning

• 10 % av ett tal = talet ÷ 10, och 1 % = talet ÷ 100
• x % av y = y % av x