Multiplikation och division av bråk

XYZKVA

Multiplikation rakt över, division genom att multiplicera med det inverterade bråket.

Formler

a/b × c/d = (a × c)/(b × d)

Täljare gånger täljare, nämnare gånger nämnare. Ingen gemensam nämnare behövs.

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c)

Division med ett bråk är multiplikation med dess invers, alltså bråket vänt upp och ner. Det är det andra bråket som vänds.

andel ”av” ett tal betyder gånger: 2/3 av 12 = 2/3 × 12 = 8

Därför blir en andel av en andel en multiplikation av de två bråken.

Så fungerar det

Multiplikation av bråk är det enklaste räknesättet i hela området: man multiplicerar rakt över. Att 2/3 × 3/4 blir 6/12 = 1/2 syns också geometriskt – tar man tre fjärdedelar av en yta och sedan två tredjedelar av den biten återstår hälften.

Innan man multiplicerar lönar det sig att förkorta kryssvis. I 3/8 × 4/9 kan trean i första täljaren och nian i andra nämnaren båda delas med 3, och fyran och åttan båda med 4. Kvar står 1/2 × 1/3 = 1/6. Det är samma svar som 12/72, men utan stora tal på vägen.

Varför division vänder bråket

Frågan ”hur många halvor ryms i 6?” har svaret 12, alltså 6 ÷ 1/2 = 12. Att dividera med en halv är samma sak som att multiplicera med 2. Generellt: att dividera med c/d är att multiplicera med d/c.

Två vanor från heltalsräkning måste avlastas här. Multiplikation gör inte alltid svaret större – 1/2 × 1/2 är 1/4, mindre än båda faktorerna. Och division gör inte alltid svaret mindre – 6 ÷ 1/2 är 12. Regeln är enkel: multiplikation med ett tal mindre än 1 krymper, division med ett tal mindre än 1 förstorar.

Räknade exempel

Exempel 1 Beräkna 3/8 ÷ 9/4.

Lösning. Division med ett bråk är multiplikation med det inverterade bråket, så uttrycket blir 3/8 × 4/9. Förkorta innan multiplikationen: 3 och 9 delas båda med 3, och 4 och 8 delas båda med 4. Kvar står 1/2 × 1/3 = 1/6. Räknar man i stället rakt över får man 12/72, som förkortat är samma sak. Det vanliga felet är att vända fel bråk och räkna 8/3 × 9/4, som ger 6.

Exempel 2 Två tredjedelar av eleverna i en klass har cykel. Av dem som har cykel har tre fjärdedelar cykellås. Hur stor andel av hela klassen har både cykel och lås?

Lösning. Uttrycket ”tre fjärdedelar av dem som har cykel” betyder tre fjärdedelar gånger två tredjedelar, alltså 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2. Hälften av klassen har både cykel och lås. Felet som ligger nära till hands är att addera andelarna och få 17/12, ett tal större än 1 – vilket direkt avslöjar att räkningen är fel, eftersom en delmängd aldrig kan vara större än det hela.

Vanliga fällor

Att leta gemensam nämnare före multiplikation – den behövs bara vid addition och subtraktion.
Att vända fel bråk vid division: i 3/8 ÷ 9/4 är det 9/4 som inverteras.
Att tro att multiplikation alltid gör svaret större; 1/2 × 1/2 är 1/4.
Att tro att division alltid gör svaret mindre; 6 ÷ 1/2 är 12, eftersom det ryms tolv halvor i sex.

Fördjupning

Matteboken: Multiplikation och division av bråk

Läs mer

Andra begrepp i bråk, decimaltal och procent:

Bråkets delar, förkorta och förlänga Addition och subtraktion av bråk Räkning med decimaltal Omvandling mellan bråk, decimaltal och procent Andelen, delen och det hela Procentuell förändring och förändringsfaktor Upprepad procentuell förändring Procent eller procentenheter Förhållanden och proportioner

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF