Bråkets delar, förkorta och förlänga
XYZKVA
Täljare, nämnare och konsten att byta form utan att ändra bråkets värde.
Formler
a/b, där a är täljare, b är nämnare och b ≠ 0
Bråkstrecket betyder division: a/b är a dividerat med b. Nämnaren säger hur många delar det hela delats i, täljaren hur många av dem man tar.
(a × k)/(b × k) = a/b
Förlängning och förkortning. Multipliceras eller divideras täljare och nämnare med samma tal k (skilt från noll) är värdet oförändrat.
a/b < c/d om a × d < c × b (för positiva b och d)
Korsvis multiplikation. Jämför två bråk utan att man först behöver hitta gemensam nämnare.
Så fungerar det
Ett bråk kan läsas på två sätt, och båda behövs. Antingen som en andel – 3/4 är tre av fyra lika stora delar – eller som en division, 3 dividerat med 4, alltså 0,75. Det är samma tal.
Att förlänga betyder att multiplicera täljare och nämnare med samma tal. Bråket 2/3 blir 4/6, 6/9 eller 20/30 utan att värdet ändras: man delar tårtan i fler bitar men tar proportionellt fler. Att förkorta är samma sak baklänges, och gör man det hela vägen är bråket i sin enklaste form.
Förkortningen görs snabbast med den största gemensamma delaren. Både 84 och 126 är delbara med 42, så 84/126 blir 2/3 i ett steg. Ser man inte den kan man förkorta i omgångar – dela med 2, sedan med 3, sedan med 7 – och landa på samma svar.
Jämföra bråk
Med samma nämnare avgör täljaren: 5/9 är större än 4/9. Med samma täljare är det tvärtom, för då avgör hur många delar det hela är uppdelat i: 1/5 är större än 1/8, eftersom femtedelar är större bitar än åttondelar. Det är den regeln som känns bakvänd och därför fäller folk.
Har bråken varken samma täljare eller nämnare förlänger man till gemensam nämnare, eller korsmultiplicerar. Ett tredje knep är att jämföra med ett känt riktmärke: 5/9 är strax över hälften medan 4/11 är klart under, så 5/9 är större.
Räknade exempel
Exempel 1 Förkorta 84/126 så långt det går.
Lösning. Faktorisera båda talen: 84 = 2² × 3 × 7 och 126 = 2 × 3² × 7. De gemensamma faktorerna är 2, 3 och 7, alltså 42. Division med 42 ger 84 ÷ 42 = 2 och 126 ÷ 42 = 3, så bråket är 2/3. Den som bara förkortar med 2 stannar på 42/63, vilket är rätt värde men inte färdigförkortat – och just den halvvägen brukar ligga bland svarsalternativen.
Exempel 2 Kvantitet I: 5/8. Kvantitet II: 7/11. Vilken kvantitet är störst?
Lösning. Korsmultiplicera. Täljaren i kvantitet I gånger nämnaren i kvantitet II ger 5 × 11 = 55. Täljaren i kvantitet II gånger nämnaren i kvantitet I ger 7 × 8 = 56. Eftersom 55 är mindre än 56 är 5/8 mindre än 7/11, alltså är kvantitet II störst. I decimalform: 0,625 mot ungefär 0,636. Att båda ligger strax över hälften är just poängen med uppgiften.
Vanliga fällor
- Att förkorta bort en term i en summa: i (3 + 6)/3 får treorna inte strykas, uttrycket är 9/3 = 3.
- Att tro att större nämnare betyder större bråk – 1/8 är mindre än 1/5.
- Att jämföra bråk genom att titta på täljare och nämnare var för sig i stället för att korsmultiplicera.
- Att sluta förkorta för tidigt, så att 84/126 stannar på 42/63 i stället för 2/3.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i bråk, decimaltal och procent:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet