Förhållanden och proportioner

XYZKVANOGDTK

Hur två storheter förhåller sig till varandra, och hur man skalar upp eller ner.

Formler

a : b = a/b

Förhållandet 3 : 2 betyder att den första storheten är 3/2 gånger den andra. Förhållanden kan förkortas som bråk: 12 : 18 är samma som 2 : 3.

a/b = c/d ger a × d = b × c

Korsmultiplikation löser proportioner. Ur 3/4 = x/20 följer 4x = 60, alltså x = 15.

delarna a : b av totalen T blir T × a/(a + b) och T × b/(a + b)

Nämnaren är summan av förhållandets delar. Förhållandet 3 : 5 av 240 ger 90 och 150.

omvänd proportionalitet: a × b = konstant

Dubblas den ena halveras den andra. Fyra maskiner på 6 timmar motsvarar 3 maskiner på 8 timmar, eftersom 4 × 6 = 3 × 8.

Så fungerar det

Ett förhållande beskriver hur stora två storheter är i relation till varandra, utan att säga något om deras absoluta storlek. Skrivsättet 5 : 2 betyder att för varje fem delar av det ena går det två delar av det andra – oavsett om det handlar om kilo, liter eller personer.

Den vanligaste feltolkningen är att läsa 5 : 2 som att fem femtedelar respektive två femtedelar. Antalet delar totalt är 5 + 2 = 7, så andelarna är fem sjundedelar och två sjundedelar. Regeln: summera förhållandets tal och använd summan som nämnare.

Proportionalitet

Två storheter är direkt proportionella när kvoten mellan dem är konstant: dubbelt så många varor kostar dubbelt så mycket. Sådana problem löses med en proportion, alltså två likställda bråk, som man korsmultiplicerar. Det viktiga är att samma sorts storhet står på samma plats i båda bråken – kronor över kilo på båda sidor, aldrig kronor över kilo på ena sidan och kilo över kronor på andra.

Vid omvänd proportionalitet är i stället produkten konstant. Fler arbetare på samma jobb ger kortare tid, inte längre. Då är antal gånger tid det som ska hållas fast: 6 maskiner i 10 timmar motsvarar 60 maskintimmar, och det arbetet fördelat på 4 maskiner tar 15 timmar.

Förhållanden dyker upp överallt på provet: skala på kartor, hastighet som sträcka per tid, densitet som massa per volym och blandningar av två ämnen.

Räknade exempel

Exempel 1 En bruksblandning ska innehålla sand och cement i förhållandet 5 : 2. Hur många kilo cement går det åt till 63 kg färdig blandning?

Lösning. Förhållandet har totalt 5 + 2 = 7 delar. Varje del väger 63 ÷ 7 = 9 kg. Cementen utgör 2 delar, alltså 2 × 9 = 18 kg. Sanden blir 5 × 9 = 45 kg, och kontrollen 18 + 45 = 63 stämmer. Den som tolkar 2 : 5 som två femtedelar räknar 63 × 2/5 = 25,2 kg och får ett svar som inte går ihop med resten av blandningen.

Exempel 2 Sex likadana maskiner utför ett arbete på 10 timmar. Hur lång tid tar samma arbete med fyra av maskinerna?

Lösning. Här gäller omvänd proportionalitet: färre maskiner ger längre tid. Arbetets storlek är 6 × 10 = 60 maskintimmar. Fördelat på fyra maskiner tar det 60 ÷ 4 = 15 timmar. En rimlighetskontroll: fyra maskiner är två tredjedelar av sex, så tiden ska bli tre halvor av 10, alltså 15. Felet som ligger nära är att sätta upp proportionen som direkt och svara ungefär 6,7 timmar, alltså kortare tid med färre maskiner.

Vanliga fällor

Att tolka förhållandet 3 : 5 som tre femtedelar – det är tre åttondelar av helheten.
Att sätta upp proportionen med storheterna i olika ordning på var sida om likhetstecknet.
Att använda direkt proportionalitet där omvänd gäller: fler arbetare ger kortare tid.
Att glömma att förhållanden kan förkortas, så att 12 : 18 inte känns igen som 2 : 3.

Läs mer

Andra begrepp i bråk, decimaltal och procent:

Bråkets delar, förkorta och förlänga Addition och subtraktion av bråk Multiplikation och division av bråk Räkning med decimaltal Omvandling mellan bråk, decimaltal och procent Andelen, delen och det hela Procentuell förändring och förändringsfaktor Upprepad procentuell förändring Procent eller procentenheter

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF