Addition och subtraktion av bråk
XYZKVA
Bråk kan bara adderas när bitarna är lika stora – därav gemensam nämnare.
Formler
a/c + b/c = (a + b)/c
Med samma nämnare adderas bara täljarna. Nämnaren står kvar oförändrad, eftersom bitarnas storlek inte ändras.
a/b + c/d = (a × d + c × b)/(b × d)
Fungerar alltid, men ger ofta ett bråk som måste förkortas efteråt. Med minsta gemensamma nämnare blir talen mindre.
MGN(6, 8) = 24
Minsta gemensamma nämnare är det minsta tal som båda nämnarna går jämnt upp i. Den hittas genom att lista multiplar eller genom primtalsfaktorisering.
Så fungerar det
En halv plus en tredjedel är inte två femtedelar. Det syns om man tänker på tal i stället för symboler: 0,5 plus 0,33 är ungefär 0,83, medan 2/5 är 0,4 – alltså mindre än den ena av termerna. Att lägga till något kan aldrig göra summan mindre, så svaret är omöjligt.
Orsaken är att en halv och en tredjedel är olika stora bitar. De går inte att räkna ihop förrän de uttrycks i samma sorts bitar. Förlänger man 1/2 till 3/6 och 1/3 till 2/6 har båda sjättedelar som enhet, och då fungerar det: 3/6 + 2/6 = 5/6.
Att hitta nämnaren
Produkten av nämnarna fungerar alltid, men blir onödigt stor. Med nämnarna 6 och 8 duger 48, men 24 räcker och ger mindre tal att hålla reda på. Minsta gemensamma nämnare hittas genom att gå igenom multiplarna av den största nämnaren – 8, 16, 24 – och stanna vid den första som även den andra nämnaren går jämnt upp i.
Blandad form
Talet 2 och 1/3 betyder 2 + 1/3, alltså 7/3. Vid subtraktion är det ofta säkrast att först skriva om till bråkform, eftersom heltalsdelen annars lätt tappas bort. Ett heltal skrivs som bråk genom att sättas över 1 och sedan förlängas: 3 är 3/1, alltså 12/4 om nämnaren ska vara 4.
Räknade exempel
Exempel 1 Beräkna 5/6 − 3/8.
Lösning. Nämnarna 6 och 8 går båda jämnt upp i 24, som är minsta gemensamma nämnare. Förlängning ger 5/6 = 20/24 eftersom både täljare och nämnare multipliceras med 4, och 3/8 = 9/24 eftersom båda multipliceras med 3. Subtraktionen blir 20/24 minus 9/24, alltså 11/24, som inte går att förkorta. Subtraherar man i stället täljare och nämnare var för sig får man 2 delat med −2, alltså −1 – ett negativt svar på en subtraktion där det första talet är störst, vilket direkt avslöjar att räkneregeln inte finns.
Exempel 2 En behållare är till 2/5 fylld med vatten. Man häller i mer tills den är 3/4 full. Hur stor andel av behållarens volym hälldes i?
Lösning. Andelen som hälldes i är skillnaden 3/4 − 2/5. Nämnarna 4 och 5 saknar gemensam faktor, så minsta gemensamma nämnare är 20. Förlängning ger 3/4 = 15/20 och 2/5 = 8/20. Skillnaden blir 7/20, alltså 0,35 eller 35 procent av behållaren. En rimlighetskontroll: 3/4 är 0,75 och 2/5 är 0,4, och skillnaden 0,35 stämmer.
Vanliga fällor
- Att addera täljare och nämnare var för sig: 1/2 + 1/3 är 5/6, inte 2/5.
- Att förlänga bara nämnaren och glömma täljaren – 5/6 blir 20/24, inte 5/24.
- Att tappa heltalsdelen i blandad form, så att 2 och 1/3 minus 1/3 blir 0 i stället för 2.
- Att välja en onödigt stor gemensam nämnare och räkna bort sig; för 6 och 8 räcker 24, inte 48.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i bråk, decimaltal och procent:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet