Volym och begränsningsarea

Geometri

XYZKVANOG

Hur mycket en kropp rymmer och hur stor sammanlagd yta som omsluter den.

Formler

Rätblock: V = l × b × h och B = 2 × (lb + lh + bh)

B är begränsningsarean, summan av de sex sidoytorna.

Prisma och cylinder: V = basytan × h. Cylinder: V = π × r² × h

Gäller kroppar med samma tvärsnitt hela vägen upp.

Kon och pyramid: V = (basytan × h) ÷ 3

h är den lodräta höjden till spetsen, inte sidokantens längd.

Klot: V = (4 × π × r³) ÷ 3 och A = 4 × π × r²

Klotets area är fyra gånger arean av en cirkel med samma radie.

Längdskala k ger areaskala k² och volymskala k³

En kub med dubbelt så långa kanter rymmer åtta gånger så mycket.

Förklaring och 2 räknade exempel

Volymen mäts i kubikenheter (cm³, m³, liter) och säger hur mycket kroppen rymmer. Begränsningsarean är summan av alla ytor som omsluter kroppen och mäts i kvadratenheter – det är den yta du skulle måla eller klä in. Provet frågar gärna efter den ena när uppgiften lockar till den andra.

Kroppar med samma tvärsnitt hela vägen upp – rätblock, prismor, cylindrar – har volymen basytan gånger höjden, som en trave identiska skivor. Koner och pyramider rymmer exakt en tredjedel av den cylinder eller det prisma som har samma bas och höjd.

Volymen växer kubiskt, ytan bara kvadratiskt

Multipliceras alla längdmått med k växer areorna med k² men volymen med k³. En kub med dubbelt så långa kanter rymmer åtta gånger så mycket och behöver bara fyra gånger så mycket färg – innehållet växer fortare än skalet. Samma tredjepotens gäller enheterna: 1 m³ är 1 000 000 cm³, inte 100. Dessutom är 1 liter = 1 dm³ och 1 cm³ = 1 milliliter.

Räknade exempel

Exempel 1 En cylinderformad burk har diametern 10 cm och höjden 12 cm. Hur stor är burkens volym? Räkna med π ≈ 3,14.

Formeln vill ha radien, inte diametern: r = 10 ÷ 2 = 5 cm.
Räkna ut basytan, alltså cirkelns area: 3,14 × 5² = 78,5 cm².
Volymen är basytan gånger höjden: 78,5 × 12 = 942 cm³, knappt en liter.
Kontroll: burken ryms i ett rätblock på 10 × 10 × 12 = 1 200 cm³ och fyller knappt fyra femtedelar av det. Den som räknar med 10 som radie får 3 768 cm³ – mer än lådan burken står i, alltså omöjligt.

Exempel 2 Ett rätblock har måtten 3 dm, 4 dm och 5 dm. Hur stor är begränsningsarean?

Lösning. Rätblocket har tre par av lika stora sidoytor: 3 × 4 = 12 dm², 3 × 5 = 15 dm² och 4 × 5 = 20 dm². Summan är 47 dm², och eftersom varje yta finns i två exemplar blir begränsningsarean 94 dm². Volymen är något helt annat: 3 × 4 × 5 = 60 dm³, alltså 60 liter.

Vanliga fallgropar (4)

Att använda diametern i stället för radien i cylinderns eller klotets formel.
Att glömma tredjedelen för kon och pyramid och räkna som om de vore cylindrar.
Att förväxla mantelarea med begränsningsarea – cylinderns innehåller också de två cirkelytorna.
Att skala en volym med längdskalan i stället för med dess kub, eller räkna om 1 m³ till 100 cm³.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i geometri:

Vinklar och vinkelsummor Trianglar och deras egenskaper Pythagoras sats Likformighet Area och omkrets Cirkeln Skala Koordinatsystem och avstånd

Fördjupning

Klot, kon och pyramid – Matteboken

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF