Volym och begränsningsarea
XYZKVANOG
Hur mycket en kropp rymmer och hur stor sammanlagd yta som omsluter den.
Formler
Rätblock: V = l × b × h och B = 2 × (lb + lh + bh)
l, b och h är längd, bredd och höjd. B är begränsningsarean, alltså summan av de sex sidoytorna.
Prisma och cylinder: V = basytan × h. Cylinder: V = π × r² × h
Alla kroppar med samma tvärsnitt hela vägen upp har volymen basytan gånger höjden.
Cylinderns begränsningsarea: B = 2 × π × r² + 2 × π × r × h
De två cirkelytorna plus mantelytan, som utvikt är en rektangel med bredden 2 × π × r och höjden h.
Klot: V = (4 × π × r³) ÷ 3 och A = 4 × π × r²
r är klotets radie. Klotets area är exakt fyra gånger arean av en cirkel med samma radie.
Kon och pyramid: V = (basytan × h) ÷ 3
För en kon blir det V = (π × r² × h) ÷ 3. h är den lodräta höjden upp till spetsen, inte sidokantens längd.
Så fungerar det
Volym mäts i kubikenheter (cm³, m³, liter) och säger hur mycket kroppen rymmer. Begränsningsarean är summan av alla ytor som omsluter kroppen och mäts i kvadratenheter – det är den yta du skulle måla eller klä in.
Alla kroppar med samma tvärsnitt hela vägen upp – rätblock, prismor, cylindrar – har volymen basytan gånger höjden. Tänk på dem som en trave identiska skivor: varje skiva har basytans area, och höjden talar om hur många skivor du staplar. Därför kan du alltid börja med att räkna ut basytan, oavsett vilken form den har.
Spetsiga kroppar – koner och pyramider – rymmer exakt en tredjedel av den cylinder eller det prisma som har samma bas och samma höjd. Faktorn en tredjedel är inget du behöver härleda på provet, men den är värd att minnas just för att den är så lätt att tappa bort.
Ett samband som ger många poäng: om alla längdmått i en kropp multipliceras med k växer areorna med k² och volymen med k³. En kub med dubbelt så långa kanter rymmer åtta gånger så mycket, men behöver bara fyra gånger så mycket färg.
Enheterna är ett eget minfält. 1 liter = 1 dm³, 1 m³ = 1000 liter och 1 cm³ = 1 milliliter. Ett kubikmetermått är alltså 1 000 000 cm³, inte 100.
Räknade exempel
Exempel 1 En cylinderformad burk har diametern 10 cm och höjden 12 cm. Hur stor är burkens volym? Räkna med π ≈ 3,14.
Lösning. Diametern är 10 cm, alltså är radien 5 cm – det är radien formeln vill ha. Basytan är π × r² = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Volymen är basytan gånger höjden: 78,5 × 12 = 942 cm³, alltså knappt en liter. Den som räknar med 10 som radie får 3768 cm³, fyra gånger för mycket, och det svaret brukar finnas bland alternativen.
Exempel 2 Ett rätblock har måtten 3 dm, 4 dm och 5 dm. Hur stor är begränsningsarean?
Lösning. Rätblocket har tre par av lika stora sidoytor: 3 × 4 = 12 dm², 3 × 5 = 15 dm² och 4 × 5 = 20 dm². Summan av de tre är 12 + 15 + 20 = 47 dm², och eftersom varje yta finns i två exemplar blir begränsningsarean 2 × 47 = 94 dm². Volymen, om den efterfrågas i stället, är 3 × 4 × 5 = 60 dm³, alltså 60 liter.
Vanliga fällor
- Att använda diametern i stället för radien i cylinderns eller klotets formel.
- Att glömma tredjedelen för kon och pyramid och räkna som om de vore cylindrar eller prismor.
- Att förväxla mantelarea med begränsningsarea – cylinderns begränsningsarea innehåller också de två cirkelytorna.
- Att skala en volym med längdskalan i stället för med dess kub, eller att räkna om 1 m³ till 100 cm³ i stället för 1 000 000 cm³.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i geometri:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet