Pythagoras sats gäller bara i rätvinkliga trianglar. Den säger att kvadraten på hypotenusan är lika stor som summan av kvadraterna på de två kateterna. Bokstäverna spelar ingen roll – det avgörande är vilken sida som är hypotenusan, och det är alltid den som ligger mitt emot den räta vinkeln.
Satsen kan läsas geometriskt: ritar du en kvadrat utåt på var och en av triangelns tre sidor, har den stora kvadraten exakt samma area som de två små tillsammans. Det förklarar varför sidorna kvadreras och varför du måste dra roten ur på slutet – du räknar med areor på vägen, men svaret ska vara en längd.
Satsen fungerar också baklänges. Om a² + b² = c² stämmer för de tre sidlängderna, då är triangeln rätvinklig. Det greppet dyker upp i NOG-uppgifter, där frågan ofta är om informationen räcker för att avgöra att en vinkel är rät.
Användningsområdena är fler än de först ser ut. Rektangelns diagonal, höjden i en likbent triangel, den kortaste vägen tvärs över en rektangulär plan och avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem bygger alla på samma sats. Vanan att leta efter en rätvinklig triangel i figuren – eller att rita in en själv – är en av de mest lönsamma på hela provet.
Räknade exempel
Exempel 1 En rätvinklig triangel har kateterna 9 cm och 12 cm. Hur lång är hypotenusan?
Lösning. Kateterna kvadreras: 9² = 81 och 12² = 144. Summan är 81 + 144 = 225, och hypotenusan är √225 = 15 cm. Lägg märke till att 9–12–15 bara är trippeln 3–4–5 förstorad tre gånger; ser du mönstret kan du svara direkt. Det vanligaste felet är att svara 225, alltså att glömma den sista rotutdragningen.
Exempel 2 En rektangel är 8 cm bred och har diagonalen 17 cm. Hur stor är rektangelns area?
- Rita in diagonalen. Den delar rektangeln i två rätvinkliga trianglar, där diagonalen är hypotenusan och rektangelns sidor är kateterna.
- Här är hypotenusan känd och en katet söks, så det ska subtraheras i stället för adderas: h = √(172 − 82).
- Räkna kvadraterna: 172 = 289 och 82 = 64, alltså h = √(289 − 64) = √225 = 15 cm.
- Arean är bas gånger höjd: 8 × 15 = 120 cm2.
- Kontroll: kateten 15 cm blev kortare än hypotenusan 17 cm, som sig bör. Den som adderar och räknar √(289 + 64) ≈ 18,8 får en sida längre än diagonalen, vilket är omöjligt.