Pythagoras sats
XYZKVANOG
Sambandet a² + b² = c² mellan sidorna i en rätvinklig triangel.
Formler
a² + b² = c²
a och b är kateterna, c är hypotenusan – sidan mitt emot den räta vinkeln, och alltid triangelns längsta sida.
c = √(a² + b²)
Hypotenusan när båda kateterna är kända.
a = √(c² – b²)
En katet när hypotenusan och den andra kateten är kända. Notera minustecknet – här subtraheras det.
c = a × √2
I en rätvinklig triangel med två lika långa kateter (45°–45°–90°) är hypotenusan kateten gånger √2. Samma samband ger kvadratens diagonal.
3–4–5, 5–12–13, 8–15–17
Vanliga heltalstripplar och deras förstoringar, till exempel 6–8–10 och 9–12–15. Känner du igen dem slipper du räkna.
Så fungerar det
Pythagoras sats gäller bara i rätvinkliga trianglar. Den säger att kvadraten på hypotenusan är lika stor som summan av kvadraterna på de två kateterna. Bokstäverna spelar ingen roll – det avgörande är vilken sida som är hypotenusan, och det är alltid den som ligger mitt emot den räta vinkeln.
Satsen kan läsas geometriskt: ritar du en kvadrat utåt på var och en av triangelns tre sidor, har den stora kvadraten exakt samma area som de två små tillsammans. Det förklarar varför sidorna kvadreras och varför du måste dra roten ur på slutet – du räknar med areor på vägen, men svaret ska vara en längd.
Satsen fungerar också baklänges. Om a² + b² = c² stämmer för de tre sidlängderna, då är triangeln rätvinklig. Det greppet dyker upp i NOG-uppgifter, där frågan ofta är om informationen räcker för att avgöra att en vinkel är rät.
Användningsområdena är fler än de först ser ut. Rektangelns diagonal, höjden i en likbent triangel, den kortaste vägen tvärs över en rektangulär plan och avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem bygger alla på samma sats. Vanan att leta efter en rätvinklig triangel i figuren – eller att rita in en själv – är en av de mest lönsamma på hela provet.
Räknade exempel
Exempel 1 En rätvinklig triangel har kateterna 9 cm och 12 cm. Hur lång är hypotenusan?
Lösning. Kateterna kvadreras: 9² = 81 och 12² = 144. Summan är 81 + 144 = 225, och hypotenusan är √225 = 15 cm. Lägg märke till att 9–12–15 bara är trippeln 3–4–5 förstorad tre gånger; ser du mönstret kan du svara direkt. Det vanligaste felet är att svara 225, alltså att glömma den sista rotutdragningen.
Exempel 2 En rektangel är 8 cm bred och har diagonalen 17 cm. Hur stor är rektangelns area?
Lösning. Diagonalen delar rektangeln i två rätvinkliga trianglar, där diagonalen är hypotenusan och rektangelns sidor är kateter. Här är hypotenusan känd, så vi subtraherar i stället för att addera: höjden är √(17² – 8²) = √(289 – 64) = √225 = 15 cm. Arean blir 8 × 15 = 120 cm². Den som i stället adderar och räknar √(289 + 64) har satt hypotenusan i en katets roll och får ett svar större än diagonalen, vilket är omöjligt.
Vanliga fällor
- Att använda satsen på en triangel som inte är rätvinklig – den gäller bara när en vinkel är exakt 90°.
- Att behandla hypotenusan som en katet och addera när man skulle subtrahera: med hypotenusan 10 och kateten 6 är den andra kateten √(100 – 36) = 8, inte √136.
- Att glömma dra roten ur på slutet och svara med kvadraten på längden.
- Att räkna (a + b)² i stället för a² + b² – de är inte samma sak.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i geometri:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet