Likformighet
XYZKVANOG
Figurer med samma form men olika storlek, där motsvarande sidor har samma förhållande.
Formler
a2 ÷ a1 = b2 ÷ b1 = k
Förhållandet mellan motsvarande sidor är detsamma för alla sidpar. Talet k kallas skalfaktorn.
Areaskala = k²
Multipliceras alla längder med k växer arean med k gånger k, eftersom en area är två längder multiplicerade med varandra.
Volymskala = k³
Volymen bygger på tre längder och växer därför med k upphöjt till tre.
v1 = u1 och v2 = u2
Om två vinklar i den ena triangeln är lika stora som två vinklar i den andra är trianglarna likformiga. Den tredje vinkeln följer av vinkelsumman.
Så fungerar det
Två figurer är likformiga när de har samma form men inte nödvändigtvis samma storlek: alla vinklar är parvis lika stora och alla sidor är förstorade eller förminskade med samma faktor. Är figurerna dessutom exakt lika stora kallas de kongruenta.
För trianglar räcker det att två vinklar stämmer överens – den tredje ges gratis av vinkelsumman 180°. Det är det vanligaste sättet att upptäcka likformighet på provet, ofta i figurer där en linje dragits parallell med en av sidorna. En sådan linje skapar en mindre triangel med samma vinklar som den stora, en så kallad topptriangel.
Det som fäller flest är hur arean beter sig. Fördubblar du alla längder blir arean inte dubbelt så stor utan fyra gånger så stor, eftersom arean är en längd gånger en längd och båda faktorerna växer. Med skalfaktorn k blir areaskalan k² och volymskalan k³. En kub med dubbelt så långa kanter rymmer åtta gånger så mycket. Omkretsen däremot är en ren längd och skalar med k rakt av.
Det praktiska greppet är att ställa upp en proportion. Para ihop rätt sidor med varandra – den längsta i den ena figuren mot den längsta i den andra – och lös ut det okända. Ett enkelt sätt att hitta skalfaktorn är att dividera ett känt sidpar med varandra innan du börjar.
Räknade exempel
Exempel 1 Två trianglar är likformiga. Den mindre har sidorna 4 cm, 6 cm och 8 cm. Den större triangelns längsta sida är 20 cm. Hur lång är den större triangelns omkrets?
Lösning. Den längsta sidan i den mindre triangeln är 8 cm och motsvarar 20 cm i den större, så skalfaktorn är k = 20 ÷ 8 = 2,5. Den mindre triangelns omkrets är 4 + 6 + 8 = 18 cm, och eftersom varje sida förstoras 2,5 gånger gör omkretsen det också: 18 × 2,5 = 45 cm. Man kan också räkna sidorna var för sig – 10, 15 och 20 cm – och summera till 45 cm. Omkretsen skalar med k, inte med k²; kvadreringen gäller bara areor.
Exempel 2 En triangel har basen 12 cm och höjden 9 cm. En linje parallell med basen skär triangeln så att den lilla triangeln ovanför linjen får höjden 6 cm. Hur lång är den lilla triangelns bas?
Lösning. Den lilla triangeln har samma vinklar som den stora – de delar toppvinkeln, och den parallella linjen ger lika stora vinklar mot sidorna – så trianglarna är likformiga. Skalfaktorn får vi ur höjderna: k = 6 ÷ 9 = 2/3. Basen skalar med samma faktor: 12 × 2/3 = 8 cm. Den lilla triangelns area är däremot bara (2/3)² = 4/9 av den storas, ett svar som ofta smyger sig in bland alternativen.
Vanliga fällor
- Att förstora en area med längdskalan i stället för med dess kvadrat – dubbelt så långa sidor ger fyra gånger så stor area.
- Att para ihop fel sidor i proportionen, till exempel den kortaste sidan i den ena triangeln med den längsta i den andra.
- Att tro att lika vinklar räcker för alla figurer: en kvadrat och en rektangel har fyra räta vinklar var men är inte likformiga. Regeln med två vinklar gäller bara trianglar.
- Att blanda ihop likformig och kongruent – kongruenta figurer är dessutom exakt lika stora, alltså k = 1.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i geometri:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet