Vinklar och vinkelsummor

Geometri

XYZKVANOG

Hur vinklar hänger ihop vid skärande linjer och vad vinklarna i en figur summerar till.

Formler

v₁ + v₂ + v₃ = 180°

Vinkelsumman i en triangel är alltid 180°, oavsett triangelns form.

(n – 2) × 180°

Vinkelsumman i en månghörning med n hörn. En fyrhörning ger 360°, en femhörning 540°.

v + u = 180°

Sidovinklar (supplementvinklar) ligger intill varandra och bildar tillsammans en rak linje.

y = v₁ + v₂

Yttervinkelsatsen: en yttervinkel y i en triangel är lika stor som summan av de två inre vinklar som inte ligger intill den.

Så fungerar det

En vinkel mäts i grader och beskriver hur mycket två strålar öppnar sig från varandra. Ett helt varv är 360°, en rak linje 180° och en rät vinkel 90°. Vinklar under 90° kallas spetsiga, vinklar mellan 90° och 180° trubbiga.

Att vinkelsumman i en triangel är 180° är ingen slump utan följer av parallella linjer: drar du genom triangelns spets en linje parallell med basen, hamnar de två basvinklarna som alternatvinklar intill toppvinkeln, och tillsammans bildar de tre en rak linje. Samma resonemang ger vinkelsumman i en månghörning – en figur med n hörn kan delas i n – 2 trianglar med streck från ett och samma hörn, och varje triangel bidrar med 180°.

Vinklar vid skärande linjer

Vertikalvinklar, alltså vinklarna mitt emot varandra där två linjer korsas, är lika stora.
Sidovinklar ligger intill varandra och är tillsammans 180°.
När en linje skär två parallella linjer är likbelägna vinklar lika stora, och alternatvinklar likaså. Det är verktyget som låter en känd vinkel vandra genom hela figuren.

På provet är vinkeluppgifter nästan alltid en kedja: en given vinkel ger nästa via sidovinklar eller vinkelsumma, tills du når den efterfrågade. Skriv in varje vinkel du räknar fram i figuren, annars tappar du bort dig på vägen.

Räknade exempel

Exempel 1 I en triangel är en av vinklarna 36°. Av de två återstående vinklarna är den ena tre gånger så stor som den andra. Hur stor är triangelns största vinkel?

Lösning. Vinkelsumman är 180°, så de två okända vinklarna är tillsammans 180° – 36° = 144°. Kalla den mindre av dem x, då är den större 3x. Ekvationen x + 3x = 144 ger 4x = 144 och x = 36. Den större vinkeln är alltså 3 × 36 = 108°. Triangelns vinklar är 36°, 36° och 108°, och den största är 108°. Ett vanligt felsvar är 144, som uppstår om man svarar med summan av de två vinklarna i stället för med den enskilda vinkeln.

Exempel 2 En regelbunden åttahörning har alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Hur stor är var och en av de inre vinklarna?

Lösning. Vinkelsumman i en månghörning med n hörn är (n – 2) × 180°. Med n = 8 blir summan (8 – 2) × 180° = 6 × 180° = 1080°. Eftersom åttahörningen är regelbunden är alla åtta vinklar lika stora, så varje vinkel är 1080° ÷ 8 = 135°. Rimlighetskontroll: vinkeln ska vara trubbig men mindre än 180°, vilket 135° är.

Vanliga fällor

Att räkna med 180° som vinkelsumma i en fyrhörning – den är 360°, alltså (4 – 2) × 180°.
Att lita på figuren: en vinkel som ser rät ut är inte 90° om det inte står, och provets figurer är sällan skalenliga.
Att blanda ihop yttervinkeln och den inre vinkeln vid samma hörn; de är tillsammans 180°, inte lika stora.
Att anta att en triangel är likbent bara för att två sidor ser ungefär lika långa ut.

Läs mer

Andra begrepp i geometri:

Trianglar och deras egenskaper Pythagoras sats Likformighet Area och omkrets Cirkeln Volym och begränsningsarea Skala Koordinatsystem och avstånd

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF