En vinkel mäts i grader: ett helt varv är 360°, en rak linje 180° och en rät vinkel 90°. Vinklar under 90° kallas spetsiga, vinklar mellan 90° och 180° trubbiga.
Vinklar vid skärande linjer
Där två linjer korsas är vertikalvinklarna, de mitt emot varandra, lika stora – båda har ju samma granne, så är v + u = 180° och u + w = 180° måste v och w vara lika. Grannvinklarna heter sidovinklar och fyller tillsammans en rak linje.
Vinklar vid parallella linjer
Skärs två parallella linjer av en tredje ser korsningarna exakt likadana ut: parallellerna har samma riktning, så skjuts den ena korsningen längs den skärande linjen landar den prick på den andra. Ur det följer resten.
- Likbelägna vinklar sitter på samma plats i var sin korsning och är därför lika stora.
- Alternatvinklar ligger på var sin sida om den skärande linjen och är lika stora, eftersom de är vertikalvinklar till likbelägna.
- Två vinklar mellan parallellerna på samma sida är sidovinklar, alltså tillsammans 180°.
Samma resonemang ger triangelns vinkelsumma: en linje genom spetsen parallell med basen lägger basvinklarna som alternatvinklar intill toppvinkeln, och de tre fyller en rak linje.
Yttervinkeln och månghörningen
Förlängs en sida bildas en yttervinkel, lika stor som summan av de två inre vinklar som inte ligger intill den: de tre inre är 180° tillsammans, och yttervinkeln är det som blir över när den intilliggande dragits bort. Genvägen sparar ett helt steg. En n-hörning delas i sin tur i n − 2 trianglar från ett och samma hörn, så vinkelsumman är (n − 2) × 180°.
Vinkeluppgifter är nästan alltid en kedja – skriv in varje vinkel du räknar fram i figuren.
Räknade exempel
Exempel 1 I en triangel är en av vinklarna 36°. Av de två återstående vinklarna är den ena tre gånger så stor som den andra. Hur stor är triangelns största vinkel?
- Vinkelsumman är 180°, så de två okända vinklarna är tillsammans 180° − 36° = 144°.
- Kalla den mindre x. Den större är då 3x, och tillsammans ska de bli 144: x + 3x = 144.
- Lös ekvationen: 4x = 144 ger x = 36.
- Den största vinkeln är den tredubbla: 3 × 36 = 108°.
- Kontroll: 36 + 36 + 108 = 180. Svarar man 144 har man angett summan av två vinklar i stället för en enskild – det talet brukar ligga bland alternativen.
Exempel 2 I en triangel är två av de inre vinklarna 52° och 61°. Hur stor är yttervinkeln vid det tredje hörnet?
Lösning. Yttervinkelsatsen ger svaret direkt: 52° + 61° = 113°. Den långa vägen ger samma sak – den tredje inre vinkeln är 180° − 52° − 61° = 67°, och yttervinkeln är dess sidovinkel, 180° − 67° = 113°. Fällan är att stanna vid 67 och svara med den inre vinkeln.
Exempel 3 En regelbunden åttahörning har alla sidor lika långa och alla vinklar lika stora. Hur stor är var och en av de inre vinklarna?
Lösning. Vinkelsumman är (n − 2) × 180°, med n = 8 alltså 6 × 180° = 1 080°. Alla åtta vinklarna är lika stora, så var och en är 1 080° ÷ 8 = 135°. Kontroll: vinkeln ska vara trubbig men mindre än 180°.