Area och omkrets
XYZKVANOG
Hur långt det är runt en figur och hur stor yta den täcker.
Formler
Rektangel: A = b × h och O = 2 × (b + h)
b är basen och h höjden. För en kvadrat med sidan s blir det A = s² och O = 4 × s.
Triangel: A = (b × h) ÷ 2
Höjden mäts vinkelrätt mot den bas du räknar med.
Parallellogram: A = b × h
h är det vinkelräta avståndet mellan de två parallella sidorna, inte den snedställda sidans längd.
Parallelltrapets: A = ((a + b) × h) ÷ 2
a och b är de två parallella sidorna och h avståndet mellan dem.
1 m² = 10 000 cm²
Areaenheter växer i kvadrat när längdenheten växer, eftersom 1 m = 100 cm och 100 × 100 = 10 000. På samma sätt är 1 hektar = 10 000 m².
Så fungerar det
Omkretsen är hur långt det är runt figuren och mäts i längdenheter (cm, m). Arean är hur stor yta figuren täcker och mäts i kvadratenheter (cm², m²). Det är två olika frågor, och provet ställer gärna den ena när figuren lockar till den andra.
Rektangelns area är bas gånger höjd därför att figuren kan delas i rader av enhetskvadrater: h rader med b kvadrater i varje. Parallellogrammen har samma area som rektangeln med samma bas och höjd – klipp av triangeln i ena änden och flytta den till den andra, så har du en rektangel. Triangeln är i sin tur hälften av en sådan parallellogram. Parallelltrapetset förstås enklast genom att lägga två kopior av det mot varandra: tillsammans bildar de en parallellogram med basen a + b och höjden h, så ett trapets är hälften av det. Därför är trapetsets area medelvärdet av de parallella sidorna gånger höjden.
Sammansatta figurer är regel snarare än undantag på provet. Dela upp figuren i rektanglar och trianglar, eller räkna ut en stor area och dra bort ett hål. Enhetsbytet är ett eget riskmoment: eftersom arean är en längd gånger en längd blir 1 m² inte 100 cm² utan 100 × 100 = 10 000 cm².
Räknade exempel
Exempel 1 En rektangulär gräsmatta är 12 m lång och 8 m bred. Runt hela gräsmattan anläggs en 1 meter bred grusgång. Hur stor area har grusgången?
Lösning. Gången ligger utanför gräsmattan på alla fyra sidorna, så den yttre rektangeln blir 1 meter bredare åt vartdera hållet: 12 + 2 = 14 m lång och 8 + 2 = 10 m bred. Den yttre arean är 14 × 10 = 140 m² och gräsmattan är 12 × 8 = 96 m². Gången är skillnaden mellan dem: 140 – 96 = 44 m². Det vanliga felet är att lägga till 1 meter i stället för 2 på varje mått – gången finns ju på båda sidorna.
Exempel 2 Ett parallelltrapets har de parallella sidorna 7 cm och 11 cm, och avståndet mellan dem är 6 cm. Hur stor är arean?
Lösning. Formeln är ((a + b) × h) ÷ 2, där a och b är de parallella sidorna. Insättning ger ((7 + 11) × 6) ÷ 2 = (18 × 6) ÷ 2 = 108 ÷ 2 = 54 cm². Ett annat sätt att se det: medelvärdet av de parallella sidorna är (7 + 11) ÷ 2 = 9 cm, och 9 × 6 = 54 cm². Trapetset har alltså samma area som en rektangel med den genomsnittliga bredden.
Vanliga fällor
- Att svara på omkretsen när frågan gäller arean, eller tvärtom – kontrollera enheten i svarsalternativen.
- Att tro att figurer med samma omkrets har samma area: en rektangel som är 1 × 11 och en kvadrat som är 6 × 6 har båda omkretsen 24, men areorna 11 respektive 36.
- Att räkna om cm² till m² genom att dela med 100 i stället för med 10 000.
- Att använda den snedställda sidan som höjd i en parallellogram eller ett trapets; höjden är alltid det vinkelräta avståndet.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i geometri:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet