NonStopHP träna gratis

Koordinatsystem och avstånd

Geometri

XYZKVA

Punkter som talpar, och avståndet mellan dem med hjälp av Pythagoras sats.

Formler

(x, y)

x anges alltid först och räknas längs den vågräta axeln, y sedan längs den lodräta.

d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)

Avståndet mellan (x1, y1) och (x2, y2). Ordningen spelar ingen roll, eftersom skillnaderna kvadreras.

M = ((x1 + x2) ÷ 2 , (y1 + y2) ÷ 2)

Mittpunkten på sträckan mellan två punkter är medelvärdet av koordinaterna, en axel i taget.

Förklaring och 2 räknade exempel

Ett koordinatsystem är två tallinjer som korsar varandra i origo, punkten (0, 0). Den vågräta axeln är x-axeln och den lodräta y-axeln, och en punkt anges med talparet (x, y) – alltid x först. Punkten (3, −2) ligger tre steg åt höger och två steg nedåt. Axlarna delar planet i fyra kvadranter, och tecknen avgör i vilken punkten hamnar.

Avståndsformeln ser krånglig ut men är bara Pythagoras sats i förklädnad. Rita en rätvinklig triangel med sträckan som hypotenusa: den vågräta kateten är skillnaden i x-led och den lodräta skillnaden i y-led. Ordningen mellan punkterna spelar därför ingen roll – skillnaden kvadreras ändå, så ett minustecken försvinner.

Mittpunkten är medelvärdet av koordinaterna, en axel i taget: mitt emellan x = 2 och x = 8 ligger x = 5. Många geometriuppgifter blir dessutom enklare om du lägger figuren i ett koordinatsystem med ett hörn i origo – då blir längder subtraktioner i stället för resonemang.

Räknade exempel

Exempel 1 Punkterna A = (−2, 1) och B = (4, 9) ligger i ett koordinatsystem. Hur långt är avståndet mellan A och B?

  1. Rita en rätvinklig triangel med sträckan AB som hypotenusa.
  2. Den vågräta kateten är skillnaden i x-led: 4 − (−2) = 6.
  3. Den lodräta kateten är skillnaden i y-led: 9 − 1 = 8.
  4. Pythagoras sats ger sträckan: d = √(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10 längdenheter.
  5. Kontroll: avståndet ska vara längre än var och en av kateterna men kortare än deras summa 14. Det vanligaste felet sitter redan i första steget – 4 − (−2) är 6, inte 2.

Exempel 2 Punkten M = (3, −1) är mittpunkt på sträckan AB, och A = (−1, 4). Vilka koordinater har B?

Lösning. Mittpunktens x-koordinat är medelvärdet av ändpunkternas: (−1 + x) ÷ 2 = 3 ger x = 7. På samma sätt i y-led: (4 + y) ÷ 2 = −1 ger y = −6, alltså B = (7, −6). Kontroll: från A till M går man 4 steg åt höger och 5 nedåt, och från M till B exakt lika mycket till.

Vanliga fallgropar (4)
  • Att kasta om x och y och läsa punkten (2, 5) som två steg uppåt och fem åt höger.
  • Att slarva med tecken vid negativa koordinater: skillnaden mellan 4 och −2 är 6, inte 2.
  • Att glömma rotutdragningen och svara med kvadraten på avståndet.
  • Att räkna avståndet som summan av skillnaderna, 14 i stället för 10 – det är sträckan längs trappan, inte fågelvägen.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i geometri:

Vinklar och vinkelsummor Trianglar och deras egenskaper Pythagoras sats Likformighet Area och omkrets Cirkeln Volym och begränsningsarea Skala

Fördjupning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF