Koordinatsystem och avstånd

XYZKVA

Punkter som talpar, och avståndet mellan dem med hjälp av Pythagoras sats.

Formler

(x, y)

x anges alltid först och räknas längs den vågräta axeln, y sedan längs den lodräta.

d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

Avståndet mellan punkterna (x₁, y₁) och (x₂, y₂). Ordningen på punkterna spelar ingen roll, eftersom skillnaderna kvadreras.

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2 , (y₁ + y₂) ÷ 2)

Mittpunkten på sträckan mellan två punkter är medelvärdet av koordinaterna, en axel i taget.

Så fungerar det

Ett koordinatsystem är två tallinjer som korsar varandra i origo, punkten (0, 0). Den vågräta axeln är x-axeln och den lodräta y-axeln. En punkt anges med talparet (x, y) – alltid x först. Punkten (3, –2) ligger tre steg åt höger och två steg nedåt. Axlarna delar planet i fyra kvadranter, och tecknen på koordinaterna avgör i vilken av dem punkten hamnar.

Avståndsformeln ser krånglig ut men är bara Pythagoras sats i förklädnad. Rita en rätvinklig triangel med sträckan som hypotenusa: den vågräta kateten är skillnaden i x-led och den lodräta skillnaden i y-led. Sedan är det a² + b² = c² som vanligt. Därför spelar det ingen roll i vilken ordning du tar punkterna – skillnaden kvadreras ändå, så ett eventuellt minustecken försvinner.

Mittpunkten är medelvärdet av koordinaterna, en i taget. Det är rimligt: mitt emellan x = 2 och x = 8 ligger x = 5, precis som medelvärdet säger.

På provet dyker koordinatsystemet upp både som ren räkning och som hjälpmedel. Många geometriuppgifter blir enklare om du placerar figuren i ett koordinatsystem, lägger ett hörn i origo och läser av de övriga hörnen – då blir längder och avstånd subtraktioner i stället för resonemang.

Räknade exempel

Exempel 1 Punkterna A = (–2, 1) och B = (4, 9) ligger i ett koordinatsystem. Hur långt är avståndet mellan A och B?

Lösning. Skillnaden i x-led är 4 – (–2) = 6 och skillnaden i y-led är 9 – 1 = 8. De två skillnaderna är kateterna i en rätvinklig triangel där sträckan AB är hypotenusan. Avståndet blir √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 längdenheter. Det vanligaste felet ligger redan i första steget: 4 – (–2) är 6, inte 2.

Exempel 2 Punkten M = (3, –1) är mittpunkt på sträckan AB, och A = (–1, 4). Vilka koordinater har B?

Lösning. Mittpunktens x-koordinat är medelvärdet av ändpunkternas, alltså (–1 + x) ÷ 2 = 3. Det ger –1 + x = 6 och x = 7. På samma sätt i y-led: (4 + y) ÷ 2 = –1 ger 4 + y = –2 och y = –6. Punkten B är alltså (7, –6). Ett annat sätt att tänka: från A till M går man 4 steg åt höger och 5 steg nedåt, och från M till B måste man gå exakt lika mycket till.

Vanliga fällor

Att kasta om x och y och läsa punkten (2, 5) som två steg uppåt och fem åt höger.
Att slarva med tecken vid negativa koordinater: skillnaden mellan 4 och –2 är 6, inte 2.
Att glömma rotutdragningen i avståndsformeln och svara med kvadraten på avståndet.
Att räkna avståndet som summan av skillnaderna, alltså 6 + 8 = 14 i stället för 10 – det är sträckan längs trappan, inte fågelvägen.

Fördjupning

Sträckor och vinklar i koordinatsystem – Matteboken

Läs mer

Andra begrepp i geometri:

Vinklar och vinkelsummor Trianglar och deras egenskaper Pythagoras sats Likformighet Area och omkrets Cirkeln Volym och begränsningsarea Skala

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF