Radien r går från cirkelns medelpunkt ut till randen, diametern d rakt igenom cirkeln via medelpunkten. Diametern är dubbelt så lång som radien, och att blanda ihop dem är det överlägset vanligaste felet i cirkeluppgifter.
Talet π är ingen gåtfull konstant utan en kvot: omkretsen delad med diametern. Det märkliga är att kvoten blir densamma för varje cirkel, stor som liten, ungefär 3,14. Därför är omkretsen π × d, alltså 2 × π × r.
Omkretsen växer linjärt, arean kvadratiskt
Radien finns en gång i omkretsformeln men två gånger i areaformeln, och det är hela skillnaden. Fördubblas radien fördubblas omkretsen medan arean blir fyra gånger så stor; tredubblas den blir arean nio gånger så stor. En pizza med dubbelt så stor diameter innehåller alltså fyra gånger så mycket pizza – i sådana KVA-uppgifter räcker det att veta hur många gånger radien växer.
Cirkelsektorer
En sektor är en tårtbit, avgränsad av två radier och en båge. Medelpunktsvinkeln avgör hur stor andel av cirkeln biten utgör: v grader av 360 möjliga, alltså andelen v ÷ 360. En sektor med vinkeln 90° är en fjärdedel. Samma andel gäller både bågen och arean, så räkna ut hela cirkelns omkrets eller area och ta andelen. Sektorns omkrets innehåller dessutom de två radierna utöver bågen.
Tangenten
En tangent nuddar cirkeln i exakt en punkt, och där står den vinkelrätt mot radien. Den räta vinkeln är ofta hela nyckeln: den ger en rätvinklig triangel med radien som ena katet, och Pythagoras sats löser resten.
Räknade exempel
Exempel 1 En cirkel har omkretsen 31,4 cm. Hur stor är cirkelns area? Räkna med π ≈ 3,14.
- Areaformeln vill ha radien, så den måste fram ur omkretsen först.
- Omkretsen är 2 × π × r, alltså 31,4 = 6,28 × r.
- Dividera bort faktorn: r = 31,4 ÷ 6,28 = 5 cm.
- Sätt in radien i areaformeln: A = π × r2 = 3,14 × 25 = 78,5 cm2.
- Kontroll: cirkeln ryms i en kvadrat med sidan 10 cm, alltså 100 cm², och fyller knappt fyra femtedelar av den. Den som stannar vid 31,4 ÷ 3,14 = 10 har fått diametern och räknar area på ett dubbelt för stort mått: svaret blir fyra gånger för stort.
Exempel 2 En cirkelsektor har radien 6 cm och medelpunktsvinkeln 60°. Hur stor är sektorns area, och hur lång är bågen?
Lösning. Sektorn är 60 ÷ 360 = 16 av hela cirkeln. Hela arean är π × 6² = 36π ≈ 113,1 cm², så sektorns area är 6π ≈ 18,8 cm². Hela omkretsen är 12π ≈ 37,7 cm, så bågen är 2π ≈ 6,3 cm. Sektorns omkrets är något annat: den är bågen plus de två radierna, alltså ungefär 6,3 + 6 + 6 = 18,3 cm.