Cirkeln
XYZKVANOG
Radie, diameter, omkrets och area – och hur en sektor är en andel av hela cirkeln.
Formler
O = 2 × π × r = π × d
r är radien och d diametern, där d = 2 × r. Räkna med π ≈ 3,14.
A = π × r²
Cirkelns area. Observera att formeln vill ha radien, inte diametern.
Båglängd = (v ÷ 360) × 2 × π × r
Längden av cirkelbågen i en sektor med medelpunktsvinkeln v grader.
Sektorns area = (v ÷ 360) × π × r²
En sektor med medelpunktsvinkeln v är andelen v av 360 av hela cirkeln, och samma andel gäller för arean.
Så fungerar det
Radien r går från cirkelns medelpunkt ut till randen, diametern d rakt igenom cirkeln via medelpunkten. Diametern är dubbelt så lång som radien, och att blanda ihop dem är det överlägset vanligaste felet i cirkeluppgifter.
Talet π är ingen gåtfull konstant utan en kvot: omkretsen delad med diametern. Det märkliga är att kvoten blir densamma för varje cirkel, stor som liten, ungefär 3,14. Därför är omkretsen π × d, vilket är samma sak som 2 × π × r.
Arean växer med radien i kvadrat. En cirkel med dubbelt så stor radie har alltså fyra gånger så stor area, inte dubbelt så stor – ett samband som återkommer i KVA-uppgifter om pizzor, rör och runda ytor.
Cirkelsektorer
En sektor är en tårtbit av cirkeln, avgränsad av två radier och en båge. Vinkeln vid medelpunkten avgör hur stor andel av cirkeln biten utgör: en sektor med medelpunktsvinkeln 90° är en fjärdedel, eftersom 90 ÷ 360 = 1/4. Samma andel gäller både för bågens längd och för sektorns area, så du behöver bara räkna ut hela cirkelns omkrets eller area och sedan ta andelen av den. Sektorns omkrets består dessutom av de två radierna utöver bågen, vilket är lätt att glömma.
Räknade exempel
Exempel 1 En cirkel har omkretsen 31,4 cm. Hur stor är cirkelns area? Räkna med π ≈ 3,14.
Lösning. Omkretsen är 2 × π × r, så radien är r = 31,4 ÷ (2 × 3,14) = 31,4 ÷ 6,28 = 5 cm. Arean blir då π × r² = 3,14 × 5² = 3,14 × 25 = 78,5 cm². Den som delar omkretsen med π och stannar där får 10, vilket är diametern och inte radien, och räknar sedan area på ett dubbelt för stort mått – svaret blir fyra gånger för stort.
Exempel 2 En cirkelsektor har radien 6 cm och medelpunktsvinkeln 60°. Hur stor är sektorns area, och hur lång är bågen?
Lösning. Sektorn är 60 ÷ 360 = 1/6 av hela cirkeln. Hela cirkelns area är π × 6² = 36π ≈ 113,1 cm², så sektorns area är 36π ÷ 6 = 6π ≈ 18,8 cm². Hela omkretsen är 2 × π × 6 = 12π ≈ 37,7 cm, så bågen är 12π ÷ 6 = 2π ≈ 6,3 cm. Notera att sektorns omkrets är något annat än bågen: den är bågen plus de två radierna, alltså ungefär 6,3 + 6 + 6 = 18,3 cm.
Vanliga fällor
- Att sätta in diametern där formeln vill ha radien – arean blir då fyra gånger för stor.
- Att blanda ihop 2 × π × r och π × r²: omkretsen innehåller radien en gång, arean två.
- Att räkna på hela cirkeln när frågan gäller en sektor, som bara är andelen v av 360.
- Att svara med bågens längd när frågan gäller sektorns omkrets, som också innehåller de två radierna.
Läs mer
Andra begrepp i geometri:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet