Trianglar sorteras efter vinklar – spetsvinklig, rätvinklig (en vinkel exakt 90°) och trubbvinklig – och efter sidor: liksidig (tre lika långa sidor, alla vinklar 60°), likbent (två lika långa) och oliksidig.
Den likbenta triangelns symmetri
Vinklarna mot de lika långa sidorna – basvinklarna – är också lika stora, och omvänt: är två vinklar lika stora är triangeln likbent. En enda given vinkel räcker därför för alla tre. Höjden från toppvinkeln delar dessutom triangeln i två spegelvända rätvinkliga trianglar och halverar både basen och toppvinkeln.
Triangelolikheten
Två sidor är tillsammans alltid längre än den tredje, eftersom vägen mellan två hörn via ett tredje aldrig kan vara kortare än den raka. Sidorna 2, 3 och 6 bildar därför ingen triangel. Är två sidor kända ligger den tredje mellan deras skillnad och summa – en klassisk NOG-fråga.
Kongruent eller likformig
Trianglarna är likformiga när vinklarna är parvis lika och sidorna förstorade med samma faktor, och kongruenta när de dessutom är exakt lika stora – då går den ena att lägga precis över den andra. Lika vinklar ger alltså bara likformighet: alla liksidiga trianglar är likformiga hur olika stora de än är.
Två mallar värda att kunna
En halverad kvadrat är en 45–45–90-triangel med sidförhållandet 1 : 1 : √2, en halverad liksidig triangel en 30–60–90-triangel med förhållandet 1 : √3 : 2.
Arean
Arean är halva basen gånger höjden, eftersom två likadana trianglar bildar en parallellogram med samma bas och höjd. Höjden är sträckan från ett hörn vinkelrätt ner mot motstående sida, inte en av sidorna. I en trubbvinklig triangel hamnar höjden utanför figuren, vilket är fullt giltigt. Varje sida får vara bas så länge du tar höjden mot den sidan.
Räknade exempel
Exempel 1 En liksidig triangel har sidan 8 cm. Hur hög är den, och hur stor är arean? Räkna med √3 ≈ 1,73.
- Dra höjden från toppen ner till basen. Den delar triangeln i två spegelvända rätvinkliga trianglar och halverar basen: 8 ÷ 2 = 4 cm.
- I en halva är hypotenusan 8 och kateten 4, så Pythagoras sats ger höjden: h = √(82 − 42) = √(64 − 16) = √48.
- Förenkla roten: √48 = √16 × √3 = 4√3 ≈ 6,92 cm.
- Areaformeln ger A = (8 × 6,92) ÷ 2 ≈ 27,7 cm2.
- Kontroll: höjden ska vara kortare än sidan 8 cm, och triangeln fyller halva rektangeln 8 × 6,92 = 55,4 cm². Den som tar 8 som höjd får 32 cm² och har använt en snedställd sida.
Exempel 2 I en likbent triangel är toppvinkeln 44°. Hur stora är de två basvinklarna?
Lösning. Basvinklarna är lika stora, och alla tre tillsammans 180°. De två är alltså tillsammans 180° − 44° = 136°, och var och en 68°. Kontroll: 68 + 68 + 44 = 180.
Exempel 3 Två av sidorna i en triangel är 7 cm och 12 cm. Mellan vilka värden måste den tredje sidan ligga?
Lösning. Triangelolikheten ger båda gränserna: den tredje sidan måste vara kortare än 7 + 12 = 19 cm, och längre än 12 − 7 = 5 cm för att den tillsammans med sjuan ska överstiga tolvan. Svaret är strikt mellan 5 och 19 cm – i gränsfallet plattas triangeln ut till en sträcka.