Udda och jämna tal
XYZKVANOG
Hur udda och jämna tal beter sig när de adderas och multipliceras.
Formler
jämnt tal: 2n · udda tal: 2n + 1
n är ett heltal. Skrivsättet gör att reglerna nedan kan härledas i stället för memoreras.
jämn + jämn = jämn · udda + udda = jämn · jämn + udda = udda
Summan blir udda bara när exakt en av termerna är udda. Samma regler gäller vid subtraktion.
jämn × valfritt = jämn · udda × udda = udda
Produkten är jämn så snart minst en faktor är jämn, eftersom faktorn 2 följer med genom hela produkten.
Så fungerar det
Ett tal är jämnt om det är delbart med 2, alltså om det innehåller faktorn 2. Alla jämna tal kan skrivas som 2n och alla udda som 2n + 1, där n är ett heltal. Med de skrivsätten går reglerna att bevisa på en rad.
Två udda tal adderade: (2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1). Resultatet har faktorn 2 och är alltså jämnt. Två udda tal multiplicerade: (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1, vilket är ett jämnt tal plus ett och därmed udda.
Varför det lönar sig på provet
Paritet, alltså om ett tal är udda eller jämnt, går ofta att avgöra utan att veta talet. Frågas det vilket uttryck som säkert är jämnt när n är ett godtyckligt heltal räcker det att testa båda fallen: n jämnt och n udda. Ett uttryck som n² + n kan skrivas n(n + 1), en produkt av två på varandra följande heltal. Ett av dem måste vara jämnt, så produkten är alltid jämn – oavsett vad n är.
Två detaljer som fäller folk: noll är jämnt, eftersom 0 = 2 × 0 och divisionen 0 ÷ 2 går jämnt ut. Och negativa heltal har paritet på samma sätt som positiva, så −6 är jämnt och −7 är udda.
Räknade exempel
Exempel 1 a och b är heltal, a är udda och b är jämnt. Vilket av uttrycken är säkert udda? A: a + b + 1 B: ab C: a + b D: 2a + b
Lösning. Gå igenom alternativen. I A är a + b udda, och udda plus ett blir jämnt. I B är den ena faktorn jämn, så produkten är jämn. I C är en term udda och en jämn, alltså är summan udda. I D är 2a jämnt och b jämnt, så summan är jämn. Rätt svar är C. Vill man kontrollera kan man sätta in a = 3 och b = 4, vilket ger 8, 12, 7 och 10.
Exempel 2 n är ett heltal. Vilket uttryck är jämnt för alla värden på n? A: n² + n B: n² + 1 C: 2n + 1 D: n + 3
Lösning. A kan skrivas n(n + 1), alltså produkten av två heltal som följer direkt på varandra. Ett av dem är alltid jämnt, så produkten är alltid jämn. I B blir uttrycket udda så snart n är jämnt, till exempel n = 2 som ger 5. C är udda för alla n eftersom 2n är jämnt. D växlar med n: n = 1 ger 4 men n = 2 ger 5. Rätt svar är A.
Vanliga fällor
- Att räkna noll som udda – noll är delbart med 2 och därmed jämnt.
- Att tro att udda plus udda blir udda: 3 + 5 = 8, alltså jämnt.
- Att blanda ihop reglerna för addition och multiplikation – udda + udda är jämnt, men udda × udda är udda.
- Att glömma att negativa heltal också är udda eller jämna, så att −6 räknas bort som jämnt tal.
Läs mer
Andra begrepp i tal och aritmetik:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet