Kvadratroten ur 25 är 5, eftersom 5 × 5 = 25. Rottecknet betecknar per definition bara det icke-negativa värdet, så √25 = 5 och inte ±5. Ekvationen x² = 25 är en annan sak: den har två lösningar, 5 och −5. Provet frågar efter båda varianterna.
Roten delas över gånger, aldrig över plus
Att √(a × b) = √a × √b följer av definitionen, och samma sak gäller division. Men √(a + b) är inte √a + √b, och det är den dyraste fällan i området: √(9 + 16) är √25 = 5, medan √9 + √16 är 3 + 4 = 7. Termer under ett gemensamt rottecken måste först adderas ihop.
Förenkla rötter
En rot förenklas genom att man bryter ut det största kvadrattal som delar radikanden. För √72 är det 36, alltså √72 = √36 × √2 = 6√2. Bryter man ut för lite, som √(4 × 18) = 2√18, är svaret inte fel men inte färdigt. Rötter med samma rotdel adderas som lika termer: 5√2 + 2√2 = 7√2.
Uppskatta utan miniräknare
På provet klämmer man in roten mellan två kvadrattal. Eftersom 49 < 50 < 64 ligger √50 mellan 7 och 8, och närmare 7 eftersom 50 ligger tätt intill 49 – exakt ungefär 7,07. Värdena √2 ≈ 1,41 och √3 ≈ 1,73 är värda att kunna utantill; med dem översätts ett förenklat rotuttryck till ett ungefärligt tal.
Storleksordningen vänder vid 1. För tal större än 1 är roten mindre än talet (√9 = 3), för tal mellan 0 och 1 är den större: ur 0,5 × 0,5 = 0,25 följer att √0,25 = 0,5.
Räknade exempel
Exempel 1 Förenkla √72 + √50 så långt som möjligt.
- Bryt ut det största kvadrattalet ur den första roten: 72 = 36 × 2, alltså √72 = √36 × √2 = 6√2.
- Gör samma sak med den andra: 50 = 25 × 2, alltså √50 = 5√2.
- Nu har båda rotdelen √2 och kan adderas som lika termer: 6√2 + 5√2 = 11√2.
- Kontroll med √2 ≈ 1,41: svaret är ungefär 15,5. Den som adderar radikanderna och skriver √122 landar på ungefär 11,0 – ett helt annat tal, eftersom roten aldrig får delas över addition.
Exempel 2 Vilket av talen ligger närmast √150? A: 11 B: 12 C: 13 D: 15
Lösning. Kläm in 150 mellan kvadrattal: 12² = 144 och 13² = 169. Roten ligger mellan 12 och 13, och närmare 12 eftersom 150 är 6 från 144 men 19 från 169. Rätt svar är B; exakt är √150 ungefär 12,2. Alternativet 15 lockar den som gissar utan kvadrattal – 15² är 225.
Exempel 3 Kvantitet I: √0,64. Kvantitet II: 0,64. Vilken kvantitet är störst?
Lösning. Eftersom 0,8 × 0,8 = 0,64 är √0,64 = 0,8, alltså större än 0,64 – kvantitet I är störst. Den som utgår från att roten alltid krymper talet svarar fel.