Kvadratrötter
XYZKVA
Talet som gånger sig självt ger radikanden, och reglerna som gäller för rötter.
Formler
√a × √a = a och (√a)² = a
Kvadratroten ur a är det icke-negativa tal som ger a när det multipliceras med sig självt. Definierad för a ≥ 0.
√(a × b) = √a × √b och √(a ÷ b) = √a ÷ √b
Roten kan delas upp över multiplikation och division – men aldrig över addition eller subtraktion.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225
Kvadraterna på talen 1 till 15. Att känna igen dem gör förenklingar som √72 = √(36 × 2) = 6√2 snabba.
Så fungerar det
Kvadratroten ur 25 är 5, eftersom 5 × 5 = 25. Rottecknet betecknar per definition bara det icke-negativa värdet. Det är därför √25 = 5 och inte ±5. Ekvationen x² = 25 är en annan sak: den har två lösningar, 5 och −5, eftersom båda talen ger 25 när de kvadreras. Den skillnaden är värd att hålla isär, för provet frågar efter båda varianterna.
Förenkla rötter
En rot förenklas genom att man bryter ut största möjliga kvadrattal ur radikanden. För √72 söker man det största kvadrattalet som delar 72, vilket är 36. Då blir √72 = √36 × √2 = 6√2. Bryter man ut för lite, till exempel √72 = √(4 × 18) = 2√18, är svaret inte fel men inte heller färdigt.
Storleksordning
För tal större än 1 är roten mindre än talet: √9 = 3. För tal mellan 0 och 1 gäller motsatsen, eftersom multiplikation med ett tal mindre än 1 krymper. Ur 0,5 × 0,5 = 0,25 följer att √0,25 = 0,5, alltså större än 0,25. På KVA dyker den observationen upp regelbundet.
Uppskattningar görs med hjälp av närmaste kvadrattal. Eftersom 49 < 50 < 64 ligger √50 mellan 7 och 8, och närmare 7 eftersom 50 ligger nära 49.
Räknade exempel
Exempel 1 Förenkla √50 + √8 så långt som möjligt.
Lösning. Bryt ut kvadrattal ur båda rötterna. Eftersom 50 = 25 × 2 blir √50 = 5√2. Eftersom 8 = 4 × 2 blir √8 = 2√2. Nu står det 5√2 + 2√2, och då kan man addera precis som med vilka lika termer som helst: 7√2. Det lockande felet är att addera radikanderna och skriva √58, vilket är ungefär 7,6 medan 7√2 är ungefär 9,9.
Exempel 2 Kvantitet I: √0,64. Kvantitet II: 0,64. Vilken kvantitet är störst?
Lösning. Eftersom 0,8 × 0,8 = 0,64 är √0,64 = 0,8. Kvantitet I är alltså 0,8 och kvantitet II är 0,64, så kvantitet I är störst. Regeln bakom: för tal mellan 0 och 1 är kvadratroten alltid större än talet självt, eftersom kvadrering av ett tal mindre än 1 gör det mindre. Den som utgår från att roten alltid krymper talet svarar fel.
Vanliga fällor
- Att dela upp roten över addition: √(9 + 16) är √25 = 5, inte 3 + 4 = 7.
- Att svara ±5 på √25 – rottecknet ger bara det positiva värdet, medan ekvationen x² = 25 har två lösningar.
- Att tro att roten alltid är mindre än talet; √0,49 är 0,7, alltså större än 0,49.
- Att förenkla √50 till 25√2 genom att halvera i stället för att bryta ut ett kvadrattal.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i tal och aritmetik:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet