En potens är ett kortskrivsätt för upprepad multiplikation: 2⁵ betyder 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Basen är talet som multipliceras, exponenten säger hur många gånger. Att 2³ × 2⁵ blir 2⁸ ser man genom att skriva ut: tre tvåor gånger fem tvåor är åtta tvåor. Vid division stryks faktorer mot varandra i stället, så exponenterna subtraheras.
Varför 2⁰ = 1
Följ mönstret nedåt: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Varje steg halverar, eftersom en tvåa plockas bort. Nästa steg måste därför vara 2⁰ = 1, och steget efter det 2⁻¹ = 12, sedan 2⁻² = 14 – mönstret bara fortsätter, ingenting behöver memoreras. Divisionslagen säger samma sak: 2³ ÷ 2⁵ är 12², och lagen ger 2⁻². Alltså är a⁻ⁿ = 1aⁿ. En negativ exponent gör talet litet men aldrig negativt: 3⁻² är 19.
Potens av potens eller produkt av potenser
Här sitter den vanligaste förväxlingen. I 2³ × 2⁴ står potenserna bredvid varandra och exponenterna adderas: 2⁷ = 128. I (2³)⁴ är den ena upphöjd till den andra, alltså 2³ taget fyra gånger, och då multipliceras de: 2¹² = 4 096. Frågan att ställa sig är om potenserna står bredvid varandra eller inuti varandra.
Negativ bas och parentesen
Står basen inom parentes följer minustecknet med i varje faktor. Jämn exponent parar ihop minustecknen och ger ett positivt svar, udda exponent lämnar ett över: (−2)⁴ = 16 men (−2)⁵ = −32. Utan parentes gäller potensen bara talet självt, så −2⁴ är −16.
Jämföra potenser med olika bas
Lagarna kräver samma bas, så 8² och 2⁷ går inte att jämföra rakt av. Men 8 är själv en tvåpotens: 8 = 2³, alltså 8² = (2³)² = 2⁶. Nu står 2⁶ mot 2⁷, och med samma bas större än 1 avgör exponenten – 2⁷ är störst. Knepet fungerar närhelst den ena basen är en potens av den andra: 4, 8, 16 och 32 mot 2, och 9, 27 och 81 mot 3.
Har potenserna samma exponent men olika bas går produktregeln baklänges i stället: 2³ × 3³ = (2 × 3)³ = 6³ = 216. Grundpotensform bygger på samma sak, med 10 som bas: 4 700 000 är 4,7 × 10⁶ och 0,00031 är 3,1 × 10⁻⁴.
Räknade exempel
Exempel 1 Förenkla (2³ × 2⁵) ÷ 2⁶.
Lösning. Täljaren ger 2³ × 2⁵ = 2⁸, eftersom exponenterna adderas vid samma bas. Divisionen ger 2⁸ ÷ 2⁶ = 2², alltså 4. Kontroll med siffror: 8 × 32 = 256 och 256 ÷ 64 = 4. Den som multiplicerar exponenterna får 2¹⁵ och kommer aldrig i mål.
Exempel 2 Kvantitet I: 2⁻³. Kvantitet II: (−2)³. Vilken kvantitet är störst?
Lösning. En negativ exponent inverterar talet: 2⁻³ är 12³ = 0,125, ett positivt tal. Kvantitet II har negativ bas och udda exponent, så (−2)³ = −8. Positivt slår negativt: kvantitet I är störst.
Exempel 3 Kvantitet I: 4⁵. Kvantitet II: 2⁹. Vilken kvantitet är störst?
- Baserna är olika, så lagarna går inte att använda rakt av. Men 4 är själv en tvåpotens: 4 = 22.
- Byt bas i kvantitet I: 45 = (22)5.
- Potens av potens betyder att exponenterna multipliceras: (22)5 = 22 × 5 = 210.
- Nu står 210 mot 29. Med samma bas, större än 1, avgör exponenten: kvantitet I är störst.
- Kontroll med siffror: 210 = 1 024 och 29 = 512, alltså precis dubbelt. Den som adderar exponenterna i steget före får 27 = 128 och svarar tvärtom.