Potenser och potenslagar

Tal och aritmetik

XYZKVA

Upprepad multiplikation, och lagarna för att räkna med exponenter.

Formler

a^m × aⁿ = a^m+n

Vid multiplikation av potenser med samma bas adderas exponenterna. Baserna måste vara lika.

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

Vid division med samma bas subtraheras exponenterna. Nämnarens exponent dras från täljarens.

(a^m)ⁿ = a^m×n och (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

Potens av potens: exponenterna multipliceras. En produkt upphöjs faktor för faktor.

a⁰ = 1 och a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ

Gäller för alla a utom 0. En negativ exponent betyder inverterat tal, inte negativt tal.

Så fungerar det

En potens är ett kortskrivsätt för upprepad multiplikation: 2⁵ betyder 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Basen är talet som multipliceras och exponenten säger hur många gånger.

Alla potenslagar följer direkt ur den definitionen. Att 2³ × 2⁵ blir 2⁸ ser man genom att skriva ut: tre tvåor gånger fem tvåor är åtta tvåor. Att exponenterna adderas är alltså inte en regel att memorera utan en konsekvens av att man räknar faktorer.

Noll och negativa exponenter

Divisionslagen tvingar fram de udda fallen. Eftersom 2⁵ ÷ 2⁵ är 1, och lagen samtidigt ger 2⁰, måste 2⁰ vara 1. På samma sätt: 2³ ÷ 2⁵ är 1 ÷ 2², och lagen ger 2⁻². Alltså är 2⁻² = 1/4. En negativ exponent gör talet litet men aldrig negativt – det är den enskilt vanligaste missuppfattningen om potenser.

Grundpotensform

Stora och små tal skrivs som ett tal mellan 1 och 10 gånger en tiopotens: 4 700 000 är 4,7 × 10⁶ och 0,00031 är 3,1 × 10⁻⁴. Vid multiplikation multipliceras talen och adderas tiopotensernas exponenter var för sig, vilket gör beräkningarna hanterbara utan miniräknare.

Observera att lagarna kräver samma bas. Uttrycket 2³ × 3³ kan inte skrivas som en enda potens av 2 eller 3, men produktregeln baklänges ger (2 × 3)³ = 6³ = 216.

Räknade exempel

Exempel 1 Förenkla (2³ × 2⁵) ÷ 2⁶.

Lösning. Multiplikationen i täljaren ger 2³ × 2⁵ = 2⁸ eftersom exponenterna adderas vid samma bas. Divisionen ger sedan 2⁸ ÷ 2⁶ = 2², alltså 4. Den som i stället multiplicerar exponenterna i första steget får 2¹⁵ och kommer aldrig i mål. Kontroll med siffror: 8 × 32 = 256 och 256 ÷ 64 = 4.

Exempel 2 Kvantitet I: 2⁻³. Kvantitet II: (−2)³. Vilken kvantitet är störst?

Lösning. En negativ exponent inverterar talet: 2⁻³ är 1 dividerat med 2³, alltså 1/8 = 0,125 – ett positivt tal. Kvantitet II har negativ bas och udda exponent, så (−2)³ = −8. Ett positivt tal är alltid större än ett negativt, och kvantitet I är störst. Uppgiften bygger helt på att man inte förväxlar negativ exponent med negativt tal.

Vanliga fällor

Att multiplicera exponenterna vid multiplikation: 2³ × 2⁵ är 2⁸, inte 2¹⁵.
Att tro att 3⁻² är negativt – det är 1/9, alltså positivt och mindre än 1.
Att svara 0 på 5⁰; varje tal utom noll upphöjt till noll är 1.
Att tillämpa potenslagarna på olika baser: 2³ × 3³ blir 6³, inte 6⁶ eller 5³.

Fördjupning

Matteboken: Räkna med potenser

Läs mer

Andra begrepp i tal och aritmetik:

Räkneordning och parenteser Negativa tal Udda och jämna tal Delbarhet och delbarhetsregler Primtal och primtalsfaktorisering Kvadratrötter Överslagsräkning och avrundning Enheter och prefix

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF