Delbarhet och delbarhetsregler
XYZKVANOG
Regler för att se om ett tal går jämnt upp i ett annat utan att dividera.
Formler
a är delbart med b om a = b × k för något heltal k
Då går divisionen a ÷ b jämnt ut och lämnar resten 0. Talet b kallas en delare till a.
2: jämn slutsiffra · 3: siffersumman delbar med 3 · 4: de två sista siffrorna delbara med 4 · 5: slutar på 0 eller 5 · 6: delbart med både 2 och 3 · 9: siffersumman delbar med 9 · 10: slutar på 0
Delbarhetsreglerna. Siffersumman är summan av talets siffror, till exempel 3 + 4 + 5 + 6 = 18 för talet 3 456.
a = b × k + r, där 0 ≤ r < b
Division med rest. r är resten, och a är delbart med b precis när r är 0.
Så fungerar det
Reglerna är inte magi utan följer av hur tiosystemet är byggt. Att bara slutsiffran avgör delbarhet med 2, 5 och 10 beror på att alla högre positioner – tiotal, hundratal och så vidare – redan är delbara med dem.
Regeln om siffersumman för 3 och 9 kommer av att 10, 100 och 1 000 alla lämnar resten 1 vid division med 9. Talet 3 456 är 3 × 1 000 + 4 × 100 + 5 × 10 + 6, och varje tiopotens bidrar med samma rest som sin siffra. Alltså lämnar hela talet samma rest som siffersumman 18, som är delbar med 9. Därför är 3 456 delbart med 9.
Att de två sista siffrorna avgör delbarhet med 4 beror på att 100 är delbart med 4, så allt utom de två sista siffrorna kan ignoreras.
Sätta ihop regler
Delbarhet med sammansatta tal kan kontrolleras genom att dela upp i faktorer som saknar gemensam delare. Ett tal delbart med både 3 och 4 är delbart med 12, eftersom 3 och 4 inte har någon gemensam faktor. Däremot ger delbarhet med 2 och 4 inte delbarhet med 8: talet 12 är delbart med både 2 och 4 men inte med 8, för faktorn 2 räknas dubbelt.
För 7 finns ingen enkel siffersummeregel. Där får man dividera – eller leta efter en närliggande multipel, som att 343 är 7 × 49.
Räknade exempel
Exempel 1 Vilket av talen är delbart med 6? A: 1 234 B: 2 345 C: 3 456 D: 4 567
Lösning. Delbart med 6 betyder delbart med både 2 och 3. B och D är udda och faller direkt. Kvar står 1 234 och 3 456, som båda är jämna. Siffersumman i 1 234 är 10, som inte är delbar med 3. Siffersumman i 3 456 är 18, som är delbar med 3. Rätt svar är C. Kontroll: 3 456 ÷ 6 = 576.
Exempel 2 I det tresiffriga talet 51■ döljer rutan en siffra. Talet är delbart med 9. Vilken siffra är det?
Lösning. Ett tal är delbart med 9 när siffersumman är det. Siffersumman är 5 + 1 + x, alltså 6 + x. Den närmaste multipeln av 9 som går att nå är 9, vilket ger x = 3. Nästa möjlighet vore 18, men då krävs x = 12, som inte är en siffra. Svaret är 3, alltså talet 513, och 513 ÷ 9 = 57.
Vanliga fällor
- Att bara titta på sista siffran vid delbarhet med 4 – det är de två sista som avgör, så 116 är delbart med 4 men 114 är det inte.
- Att tro att delbarhet med 2 och 4 ger delbarhet med 8: 12 är delbart med både 2 och 4 men inte med 8.
- Att använda siffersumman för 7 eller 11 – den regeln gäller bara 3 och 9.
- Att blanda ihop riktningen: 3 är en delare till 12, medan 12 är delbart med 3.
Läs mer
Andra begrepp i tal och aritmetik:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet