Primtal och primtalsfaktorisering
XYZKVANOG
Tal med exakt två delare, och hur varje heltal byggs upp av dem.
Formler
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Primtalen upp till 50. Ett primtal har exakt två positiva delare: 1 och sig självt. 1 är inte ett primtal, och 2 är det enda jämna primtalet.
N = p1a × p2b × …
Varje heltal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal, och bara på ett sätt bortsett från ordningen. Exempel: 60 = 2² × 3 × 5.
antal positiva delare = (a + 1)(b + 1) …
Exponenterna i primtalsfaktoriseringen ökade med ett och multiplicerade ihop. 12 = 2² × 3 har (2 + 1)(1 + 1) = 6 delare.
Så fungerar det
Primtalen är talsystemets byggstenar. Varje heltal större än 1 kan brytas ner i primtalsfaktorer, och nedbrytningen är unik. Det är också skälet till att 1 inte räknas som primtal: om 1 vore ett primtal skulle 12 kunna skrivas som 2 × 2 × 3, som 1 × 2 × 2 × 3 och som oändligt många andra varianter, och entydigheten vore borta.
Faktorisering görs enklast genom att systematiskt dividera med primtalen i storleksordning. För 84: dividera med 2 och få 42, med 2 igen och få 21, med 3 och få 7, som är ett primtal. Alltså 84 = 2² × 3 × 7.
Att avgöra om ett tal är primtal
Man behöver bara testa primtalsdelare upp till kvadratroten ur talet. Har talet en delare större än roten finns nödvändigtvis en mindre delare på andra sidan. För 97 räcker det därför att pröva 2, 3, 5 och 7, eftersom 11² redan är 121. Inget av dem går jämnt upp, så 97 är ett primtal.
Vad faktoriseringen används till
Ur faktoriseringen läser man direkt av både den största gemensamma delaren och den minsta gemensamma multipeln. Med 12 = 2² × 3 och 18 = 2 × 3² tar man de lägsta exponenterna för SGD, alltså 2 × 3 = 6, och de högsta för MGN, alltså 2² × 3² = 36. Samma teknik ger minsta gemensamma nämnare när bråk ska adderas.
Räknade exempel
Exempel 1 Hur många positiva delare har talet 60?
Lösning. Faktorisera först: 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2² × 3 × 5. Exponenterna är 2, 1 och 1. Antalet delare blir (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12. Kontroll genom uppräkning: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60 – tolv stycken. Den som räknar upp för hand missar lätt paret 4 och 15.
Exempel 2 Vilket är det minsta positiva heltal som är delbart med både 12 och 18?
Lösning. Skriv talen på primtalsform: 12 = 2² × 3 och 18 = 2 × 3². Det sökta talet måste innehålla varje primtalsfaktor med den högsta exponent som förekommer, alltså 2² och 3². Produkten blir 4 × 9 = 36. Kontroll: 36 ÷ 12 = 3 och 36 ÷ 18 = 2. Det lockande felet är att multiplicera talen och svara 216, som är delbart med båda men långt ifrån minst.
Vanliga fällor
- Att räkna 1 som primtal – ett primtal har exakt två olika delare, och 1 har bara en.
- Att avfärda 2 som primtal för att det är jämnt; 2 är tvärtom det enda jämna primtalet.
- Att tro att 51 och 91 är primtal: 51 = 3 × 17 och 91 = 7 × 13, så udda är inte samma sak som primtal.
- Att stanna vid en halvfärdig uppdelning som 60 = 6 × 10 i stället för att bryta ner hela vägen till 2² × 3 × 5.
Läs mer
Andra begrepp i tal och aritmetik:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet