NonStopHP träna gratis

Primtal och primtalsfaktorisering

Tal och aritmetik

XYZKVANOG

Tal med exakt två delare, och hur varje heltal byggs upp av dem.

Formler

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Primtalen upp till 50. Ett primtal har exakt två positiva delare: 1 och sig självt. 2 är det enda jämna.

N = p1a × p2b × …

Varje heltal större än 1 är en produkt av primtal, och bara på ett sätt bortsett från ordningen: 60 = 2² × 3 × 5.

antal positiva delare = (a + 1)(b + 1) …

Exponenterna ökade med ett och multiplicerade ihop: 12 = 2² × 3 har (2 + 1)(1 + 1) = 6 delare.

Förklaring och 2 räknade exempel

Primtalen är talsystemets byggstenar: varje heltal större än 1 kan brytas ner i primtalsfaktorer, och nedbrytningen är unik. Därför räknas inte 1 som primtal – annars kunde 12 skrivas både som 2 × 2 × 3 och som 1 × 2 × 2 × 3, och entydigheten vore borta.

Faktorisering görs genom att dividera med primtalen i storleksordning: 84 delat med 2 är 42, med 2 igen 21, med 3 blir 7, som är ett primtal – alltså 84 = 2² × 3 × 7. Ska man avgöra om ett tal självt är primtal räcker det att pröva delare upp till kvadratroten, eftersom en delare över roten alltid har en mindre motpart. För 97 räcker 2, 3, 5 och 7, då 11² redan är 121.

Vad faktoriseringen används till

Ur faktoriseringen läses största gemensamma delaren och minsta gemensamma multipeln direkt. Med 12 = 2² × 3 och 18 = 2 × 3² tar man de lägsta exponenterna för SGD, alltså 6, och de högsta för MGN, alltså 36. Samma teknik ger minsta gemensamma nämnare när bråk ska adderas.

Räknade exempel

Exempel 1 Vilket är det minsta positiva heltal som är delbart med både 12 och 18?

  1. Skriv talen på primtalsform: 12 = 22 × 3 och 18 = 2 × 32.
  2. Talet måste innehålla varje primtalsfaktor med den högsta exponent som förekommer: 22 och 32.
  3. Multiplicera ihop: 4 × 9 = 36.
  4. Kontroll: 36 ÷ 12 = 3 och 36 ÷ 18 = 2, båda jämnt upp. Att multiplicera talen ger 216 – delbart med båda, men långt ifrån minst.

Exempel 2 Hur många positiva delare har talet 60?

Lösning. Faktorisera: 60 = 2² × 3 × 5, med exponenterna 2, 1 och 1. Antalet delare blir (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12. Kontroll: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60 – tolv stycken, där paret 4 och 15 lättast missas.

Vanliga fallgropar (4)
  • Att räkna 1 som primtal – ett primtal har exakt två delare, och 1 har bara en.
  • Att avfärda 2 som primtal för att det är jämnt; 2 är tvärtom det enda jämna primtalet.
  • Att tro att 51 och 91 är primtal: 51 = 3 × 17 och 91 = 7 × 13.
  • Att stanna vid en halvfärdig uppdelning som 60 = 6 × 10 i stället för 2² × 3 × 5.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i tal och aritmetik:

Räkneordning och parenteser Negativa tal Udda och jämna tal Delbarhet och delbarhetsregler Potenser och potenslagar Kvadratrötter Överslagsräkning och avrundning Enheter och prefix

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF