Negativa tal

XYZKVANOG

Hur tecknen beter sig när man räknar med tal mindre än noll.

Formler

a − (−b) = a + b

Att subtrahera ett negativt tal är samma sak som att addera det positiva talet. Två minustecken intill varandra blir ett plus.

(−a) × (−b) = a × b och (−a) × b = −(a × b)

Lika tecken ger positiv produkt, olika tecken ger negativ. Samma regel gäller vid division.

(−a)² = a² och (−a)³ = −a³

Jämn exponent gör resultatet positivt eftersom minustecknen parar ihop sig. Udda exponent lämnar ett minustecken över.

Så fungerar det

Tallinjen är den bild man ska ha i huvudet. Att addera flyttar åt höger, att subtrahera flyttar åt vänster. Från −4 flyttar man 9 steg åt höger och landar på 5. Det förklarar varför −4 − (−9) blir 5: man tar bort en förflyttning nio steg åt vänster, vilket är samma sak som att gå nio steg åt höger.

Ordningen bland negativa tal förvirrar många. Ju längre till vänster på tallinjen, desto mindre är talet. Därför är −7 mindre än −3, trots att 7 är större än 3. På KVA räcker den insikten ofta för att avgöra en jämförelse utan att räkna ut något alls.

Tecken vid multiplikation

Att en negativ faktor vänder tecknet syns i ett mönster: 3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Nästa steg i mönstret, (−1) × (−2), måste bli +2 för att stegen ska fortsätta öka med 2. Två negativa faktorer ger alltså en positiv produkt.

Praktisk regel: räkna antalet minustecken i en produkt. Ett jämnt antal ger positivt resultat, ett udda antal ger negativt. Produkten (−2) × (−3) × (−4) har tre minustecken och blir −24.

Absolutbeloppet, avståndet till noll, skrivs |−6| = 6. Det behövs sällan explicit på provet men förklarar varför en kvadrat aldrig blir negativ: (−5)² och 5² är båda 25.

Räknade exempel

Exempel 1 Beräkna (−4) − (−9) + (−2).

Lösning. Skriv om tecknen ett i taget. Minus ett negativt tal blir plus, så −4 − (−9) är −4 + 9 = 5. Plus ett negativt tal är samma sak som minus, så 5 + (−2) = 3. Svaret är 3. Den som låter alla minustecken slå igenom rakt av får −4 − 9 − 2 = −15, vilket brukar finnas bland alternativen.

Exempel 2 Kvantitet I: (−3)². Kvantitet II: −3². Vilken kvantitet är störst?

Lösning. I kvantitet I står hela −3 inom parentes, så basen är −3 och (−3)² blir (−3) × (−3) = 9. I kvantitet II finns ingen parentes, och då gäller potensen bara trean: −3² är −(3 × 3) = −9. Kvantitet I är alltså störst. Skillnaden ligger enbart i parentesen, och det är precis det uppgiften testar.

Vanliga fällor

Att tro att −3 är större än −1 därför att 3 är större än 1 – på tallinjen ligger −3 längre åt vänster.
Att låta minustecknen slå igenom rakt av: −4 − (−9) är 5, inte −13.
Att skriva (−5)² som −25 – kvadraten på ett negativt tal är alltid positiv.
Att glömma att en negativ faktor vänder olikhetstecknet: ur −2x > 6 följer x < −3, inte x > −3.

Fördjupning

Matteboken: Negativa tal

Läs mer

Andra begrepp i tal och aritmetik:

Räkneordning och parenteser Udda och jämna tal Delbarhet och delbarhetsregler Primtal och primtalsfaktorisering Potenser och potenslagar Kvadratrötter Överslagsräkning och avrundning Enheter och prefix

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF