Räkneordning och parenteser

Tal och aritmetik

XYZKVANOGDTK

Parenteser före potenser, potenser före multiplikation, multiplikation före addition.

Formler

( ) → xⁿ → × och ÷ → + och −

Prioriteringsordningen. Ligger två operationer på samma nivå räknas de från vänster till höger.

a × (b + c) = a × b + a × c

Distributiva lagen. Faktorn utanför parentesen multipliceras med varje term inuti, inte bara med den första.

a − (b − c) = a − b + c

Ett minustecken framför en parentes vänder tecknet på varje term innanför den.

Så fungerar det

Uttrycket 3 + 4 × 2 skulle kunna betyda två saker: antingen 7 × 2 = 14 eller 3 + 8 = 11. För att varje uttryck ska ha ett och bara ett värde finns en bestämd ordning som alla räknar efter.

Ordningen är: först det som står inom parenteser, sedan potenser och rötter, därefter multiplikation och division, och sist addition och subtraktion. Rätt svar ovan är alltså 11.

Multiplikation och division ligger på samma nivå, och likaså addition och subtraktion. Står två likvärdiga operationer efter varandra räknas de från vänster till höger. Därför är 24 ÷ 4 × 2 lika med 12 och inte 3 – divisionen står först och utförs först. Samma sak gäller 10 − 4 + 3, som är 9 och inte 3.

Osynliga parenteser

Bråkstreck och rottecken grupperar automatiskt. I ett bråk med 7 + 5 över 3 är det hela summan 12 som divideras, alltså 4. Skriver man om uttrycket på en rad måste parentesen skrivas ut: (7 + 5) ÷ 3.

Ett minustecken framför en parentes är ett dolt −1 som multipliceras in, vilket vänder tecknet på allt inuti: 12 − (5 − 8) blir 12 − 5 + 8 = 15. Den som bara stryker parentesen får 12 − 5 − 8 = −1 och hamnar ofta på ett svarsalternativ som finns med just för det felet.

På DTK spelar ordningen roll när man räknar vidare på avlästa värden. En andel av en summa måste beräknas som andelen gånger hela summan, inte som andelen gånger första termen plus resten.

Räknade exempel

Exempel 1 Vad är värdet av 12 − 3 × (5 − 3)² ÷ 6?

Lösning. Parentesen först: 5 − 3 = 2. Sedan potensen: 2² = 4. Kvar står 12 − 3 × 4 ÷ 6. Multiplikation och division räknas från vänster: 3 × 4 = 12 och 12 ÷ 6 = 2. Sist subtraktionen: 12 − 2 = 10. Räknar man i stället rakt från vänster får man (12 − 3) × 4 ÷ 6 = 6, vilket är ett vanligt svarsalternativ i uppgifter av den här typen.

Exempel 2 Kvantitet I: 8 − 2 × 3. Kvantitet II: (8 − 2) × 3. Vilken kvantitet är störst?

Lösning. I kvantitet I finns ingen parentes, så multiplikationen går först: 2 × 3 = 6, och 8 − 6 = 2. I kvantitet II bryter parentesen ordningen: 8 − 2 = 6, och 6 × 3 = 18. Kvantitet II är alltså störst. Uppgiften mäter ingenting annat än om man ser att parenteserna flyttar subtraktionen först i ledet.

Vanliga fällor

Att räkna 8 − 2 × 3 från vänster och få 18 i stället för 2.
Att bara stryka parentesen efter ett minustecken: 12 − (5 − 8) är 15, inte −1.
Att tro att multiplikation alltid går före division – i 24 ÷ 4 × 2 gäller vänster till höger, så svaret är 12.
Att läsa −3² som (−3)²: potensen binder hårdare än minustecknet, så −3² är −9 medan (−3)² är 9.

Läs mer

Andra begrepp i tal och aritmetik:

Negativa tal Udda och jämna tal Delbarhet och delbarhetsregler Primtal och primtalsfaktorisering Potenser och potenslagar Kvadratrötter Överslagsräkning och avrundning Enheter och prefix

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF