Variationsbredd och spridning

XYZKVADTK

Variationsbredden är största värdet minus det minsta och säger inget om talen däremellan.

Formler

variationsbredd = största värdet - minsta värdet

Kallas också spännvidd. Måttet bygger bara på två av talen, ytterlighetsvärdena, och påverkas därför kraftigt av ett enda avvikande värde.

alla värden + k ger medelvärde + k och oförändrad variationsbredd

Förskjuts hela materialet lika mycket flyttas läget men inte spridningen. Höjs alla löner med 1 000 kronor ökar medellönen med 1 000, medan skillnaden mellan högsta och lägsta lön är exakt densamma.

alla värden × k ger medelvärde × k och variationsbredd × k

Multiplikation med ett positivt tal k skalar både läget och spridningen. Höjs alla löner med 10 procent, alltså k = 1,1, ökar även löneskillnaden med 10 procent.

Så fungerar det

Lägesmåtten säger var talen ligger. Spridningsmåtten säger hur utspridda de är, och två material med exakt samma medelvärde kan se helt olika ut. Det är den skillnaden uppgifterna handlar om.

Det spridningsmått du behöver kunna räkna på är variationsbredden: största värdet minus det minsta. Den är enkel att ta fram men grovhuggen, eftersom den bara bygger på materialets två ytterligheter. Ett enda avvikande värde kan mångdubbla variationsbredden utan att resten av talen har flyttat sig en millimeter. Standardavvikelsen behöver du inte räkna ut på högskoleprovet, men du bör veta vad den betyder: hur långt värdena i genomsnitt ligger från medelvärdet. Den blir liten när talen klumpar ihop sig kring mitten och stor när de sprider ut sig.

Två egenskaper återkommer i KVA. Om alla värden ökas med samma tal flyttar sig medelvärdet och medianen lika mycket, men spridningen är oförändrad – avstånden mellan talen är ju desamma som förut. Om alla värden i stället multipliceras med ett positivt tal skalas både läge och spridning med samma faktor. Att skilja på förskjutning och skalning löser förvånansvärt många uppgifter helt utan uträkningar.

I DTK dyker spridning upp som en ren avläsningsfråga: vilket år varierade priset mest, vilket diagram visar den jämnaste fördelningen. Leta då upp den högsta och den lägsta punkten och ta skillnaden – men kontrollera först var y-axeln börjar, annars bedömer du variationen på en skala som är byggd för att överdriva den.

Räknade exempel

Exempel 1 Två klasser skrev samma prov. I klass A blev resultaten 12, 13, 14, 15 och 16 poäng. I klass B blev de 4, 14, 14, 14 och 24 poäng. Jämför klassernas medelvärde, median och variationsbredd.

Lösning. Klass A har summan 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 70 poäng och därmed medelvärdet 70 ÷ 5 = 14. Klass B har summan 4 + 14 + 14 + 14 + 24 = 70 poäng och alltså samma medelvärde, 14. Medianen är 14 i båda klasserna. Variationsbredden skiljer sig däremot rejält: i klass A är den 16 - 12 = 4 poäng, i klass B 24 - 4 = 20 poäng. Materialen har identiska lägesmått men helt olika spridning, och det är just därför ett medelvärde ensamt aldrig räcker för att beskriva en fördelning.

Exempel 2 Talen 3, 7 och 10 ökas var och en med 5. Hur påverkas medelvärdet respektive variationsbredden?

Lösning. Före ökningen är medelvärdet (3 + 7 + 10) ÷ 3 = 20 ÷ 3, ungefär 6,7, och variationsbredden 10 - 3 = 7. Efter ökningen är talen 8, 12 och 15. Medelvärdet blir (8 + 12 + 15) ÷ 3 = 35 ÷ 3, ungefär 11,7, och variationsbredden 15 - 8 = 7. Medelvärdet ökade med exakt 5 medan variationsbredden är oförändrad. Det är den generella regeln: en förskjutning flyttar hela materialet utan att ändra avstånden inom det. Hade talen i stället multiplicerats med 5 hade både medelvärdet och variationsbredden femdubblats, till 100 ÷ 3 respektive 35.

Vanliga fällor

Att dra slutsatsen att två material är lika bara för att medelvärdena är lika. Medelvärdet säger ingenting om spridningen.
Att räkna variationsbredd som första minus sista värdet i en osorterad lista i stället för största minus minsta.
Att tro att spridningen ändras när alla värden förskjuts lika mycket. Läget flyttas, spridningen står still.
Att bedöma spridning på ögonmått i ett DTK-diagram med avkapad y-axel. En axel som börjar på 90 i stället för 0 får en variation på några få procent att se dramatisk ut.

Fördjupning

Variationsbredd, kvartiler och lådagram – videogenomgångar (Matteboken)

Läs mer

Andra begrepp i statistik och sannolikhet:

Medelvärde, median och typvärde Sannolikhetens grunder Kombinatorik Beroende händelser och dragning utan återläggning

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF