Beroende händelser och dragning utan återläggning
XYZKVANOG
När den första dragningen ändrar innehållet i påsen måste både täljare och nämnare uppdateras.
Formler
P(A och sedan B) = P(A) × P(B när A redan inträffat)
Multiplikationsregeln i sin allmänna form. Är händelserna oberoende är den andra faktorn helt enkelt P(B), men vid dragning utan återläggning är den det inte.
utan återläggning: nämnaren minskar med 1 för varje dragning
Har du dragit en kula av tolv är elva kvar. Var den dragna kulan dessutom av den färg du frågar efter minskar även täljaren med 1.
P(minst en) = 1 - P(ingen)
Komplementregeln fungerar likadant med och utan återläggning, och är nästan alltid den kortaste vägen fram.
Så fungerar det
Händelser är oberoende när den ena inte ändrar förutsättningarna för den andra. Tärningar, myntkast och lottdragningar med återläggning hör hit, och då multiplicerar du sannolikheterna rakt av.
Händelser är beroende när det första utfallet ändrar situationen inför det andra. Standardfallet på provet är dragning utan återläggning: du tar en kula ur en påse och lägger inte tillbaka den. Sannolikheten för den andra dragningen beror då på vad som hände i den första.
Hela tekniken ligger i att uppdatera både täljaren och nämnaren. Har du dragit en grön kula ur en påse med 4 gröna och 6 vita finns det inför nästa dragning 3 gröna kvar av 9 kulor. Nämnaren minskade eftersom en kula försvann, och täljaren minskade eftersom den försvunna kulan var grön. Hade den första kulan varit vit hade nämnaren minskat men täljaren stått kvar på 4.
Läs uppgiftens formulering noga, för det är där skillnaden avgörs. Uttryck som med återläggning och lägger tillbaka betyder oberoende händelser. Uttryck som utan återläggning, behåller och drar två kulor samtidigt betyder beroende händelser – att dra två samtidigt är matematiskt precis samma sak som att dra dem en i taget utan att lägga tillbaka.
Ska ordningen inte spela roll måste du täcka båda fallen. Att dra en grön och en vit kula i valfri ordning består av två utfall, grön följt av vit och vit följt av grön, och deras sannolikheter ska adderas.
Räknade exempel
Exempel 1 En skål innehåller 4 gröna och 6 vita kulor. Du drar två kulor utan att lägga tillbaka den första. Hur stor är sannolikheten att båda är gröna?
Lösning. Första dragningen: 4 gröna av 10 kulor ger sannolikheten 4/10. Efter att en grön kula tagits bort finns 3 gröna kvar av 9 kulor, så den andra dragningen har sannolikheten 3/9. Multiplicera: 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15. Det lockande felsvaret är 4/10 × 4/10 = 4/25, alltså att räkna som om kulan lagts tillbaka. Lägg märke till att både täljaren och nämnaren minskade med 1 här. Hade den första kulan varit vit hade sannolikheten för grönt i andra dragningen i stället varit 4/9.
Exempel 2 Ur samma skål med 4 gröna och 6 vita kulor drar du två kulor samtidigt. Hur stor är sannolikheten att minst en av dem är grön?
Lösning. Att dra två kulor samtidigt är detsamma som att dra dem en i taget utan återläggning. Räkna på motsatsen: att ingen av kulorna är grön, alltså att båda är vita. Första dragningen ger 6/10 och den andra 5/9, vilket blir 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3. Sannolikheten för minst en grön är då 1 - 1/3 = 2/3. Att i stället addera fallen första kulan grön och andra kulan grön ger fel svar, eftersom fallet där båda är gröna då räknas två gånger.
Vanliga fällor
- Att behålla samma nämnare i den andra dragningen. Har en kula tagits bort finns det en kula färre att välja bland.
- Att minska nämnaren men glömma täljaren. Har den borttagna kulan samma färg som den du frågar efter minskar båda.
- Att läsa drar två kulor samtidigt som två oberoende dragningar. Samtidigt betyder utan återläggning.
- Att räkna minst en som summan av delfallen utan att korrigera för att fallet där båda inträffar då räknats dubbelt.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i statistik och sannolikhet:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet