NonStopHP träna gratis

Beroende händelser och dragning utan återläggning

Statistik och sannolikhet

XYZKVANOG

När den första dragningen ändrar innehållet i påsen måste både täljare och nämnare uppdateras.

Formler

P(A och sedan B) = P(A) × P(B när A redan inträffat)

Multiplikationsregeln i allmän form. Vid oberoende är andra faktorn helt enkelt P(B), men vid dragning utan återläggning inte.

utan återläggning: nämnaren minskar med 1 för varje dragning

Har du dragit en kula av tolv är elva kvar. Var den dessutom av den färg du frågar efter minskar även täljaren med 1.

P(minst en) = 1 − P(ingen)

Komplementregeln fungerar likadant med och utan återläggning.

Förklaring och 2 räknade exempel

Händelser är oberoende när den ena inte ändrar förutsättningarna för den andra. Tärningar, myntkast och dragningar med återläggning hör hit, och då multipliceras sannolikheterna rakt av.

De är beroende när det första utfallet ändrar situationen inför det andra. Standardfallet är dragning utan återläggning, och tekniken ligger i att uppdatera både täljaren och nämnaren: har du dragit en grön kula ur en påse med 4 gröna och 6 vita finns 3 gröna kvar av 9. Nämnaren minskade för att en kula försvann, täljaren för att den var grön – hade den varit vit hade bara nämnaren minskat.

Formuleringen avgör fallet. Med återläggning betyder oberoende, medan utan återläggning, behåller och drar två kulor samtidigt betyder beroende – att dra två samtidigt är samma sak som att dra dem en i taget utan att lägga tillbaka.

Räknade exempel

Exempel 1 En skål innehåller 4 gröna och 6 vita kulor. Du drar två kulor utan att lägga tillbaka den första. Hur stor är sannolikheten att båda är gröna?

  1. Första dragningen: 4 gröna av 10 kulor ger 410.
  2. En grön kula är borta, så inför andra dragningen finns 3 gröna kvar av 9: 39 – både täljare och nämnare minskade med 1.
  3. Båda ska inträffa, så multiplicera: 410 × 39 = 1290 = 215.
  4. Rimlighet: 215 ≈ 0,13, mindre än 410 × 410 = 425 = 0,16 som gäller med återläggning – och mindre ska det vara, eftersom en grön redan är borta.

Exempel 2 Ur samma skål med 4 gröna och 6 vita kulor drar du två kulor samtidigt. Hur stor är sannolikheten att minst en är grön?

Lösning. Samtidigt betyder utan återläggning. Räkna på motsatsen, att båda är vita: 610 för den första och 59 för den andra, alltså 610 × 59 = 3090 = 13. Sannolikheten för minst en grön blir 1 − 13 = 23. Att i stället addera delfallen ger fel, eftersom fallet där båda är gröna då räknas dubbelt.

Vanliga fallgropar (4)
  • Att behålla samma nämnare i den andra dragningen – har en kula tagits bort finns en färre att välja bland.
  • Att minska nämnaren men glömma täljaren. Har den borttagna kulan samma färg som den du frågar efter minskar båda.
  • Att läsa ”drar två kulor samtidigt” som två oberoende dragningar. Samtidigt betyder utan återläggning.
  • Att räkna minst en som summan av delfallen utan att korrigera för att fallet där båda inträffar räknats dubbelt.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i statistik och sannolikhet:

Medelvärde, median och typvärde Variationsbredd och spridning Sannolikhetens grunder Kombinatorik

Fördjupning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF