Medelvärde, median och typvärde kallas lägesmått. Alla tre svarar på vad som är ett typiskt värde, men de svarar olika – och provet är byggt kring just den skillnaden.
Medelvärdet använder varje tal, vilket också är dess svaghet: ett enda extremvärde drar med sig hela medelvärdet. Medianen är värdet i mitten när talen sorterats och bryr sig om ordningen, inte om hur långt ut ytterligheterna ligger. Typvärdet är det som förekommer flest gånger – det enda mått som fungerar även när materialet inte är tal.
Vilket mått ska man välja?
I en symmetrisk fördelning ligger de tre ungefär lika, i en sned glider de isär: löner och bostadspriser har några få mycket höga värden, och då hamnar medelvärdet ovanför medianen. Enstaka höga värden lyfter medelvärdet men lämnar medianen i fred. Frågan om vad en typisk person tjänar besvaras av medianen, frågan om lönesumman av medelvärdet.
Räkna via summorna
Nästan alla XYZ-uppgifter om medelvärde löses baklänges: översätt varje medelvärde till en summa, räkna med summorna och gå tillbaka till ett medelvärde på slutet. Det gäller ett saknat tal, ett tillagt värde och två grupper som slås ihop. Medelvärdet av två medelvärden stämmer bara när grupperna är exakt lika stora.
Räknade exempel
Exempel 1 På en firma tjänar de fem anställda 26 000, 27 000, 28 000, 29 000 och 120 000 kronor i månaden. Vad är medellönen och medianlönen, och vilket mått beskriver firman bäst?
- Summera lönerna: 26 000 + 27 000 + 28 000 + 29 000 + 120 000 = 230 000 kronor.
- Medellönen är summan delad med antalet: 230 000 ÷ 5 = 46 000 kronor.
- Lönerna står redan i storleksordning, och med fem värden är medianen det tredje: 28 000 kronor.
- Fyra av fem anställda tjänar mindre än medellönen, så det är medianen som beskriver en typisk anställd.
- Kontroll av känsligheten: byts 120 000 mot 500 000 blir medellönen 610 000 ÷ 5 = 122 000 kronor, medan medianen fortfarande är 28 000.
Exempel 2 Medelvärdet av sex tal är 12. Ett sjunde tal läggs till och medelvärdet av alla sju talen blir 13. Vilket är det sjunde talet?
- Översätt båda medelvärdena till summor med summa = medelvärde × antal.
- De sex första talen har summan 12 × 6 = 72.
- Alla sju talen har summan 13 × 7 = 91.
- Det sjunde talet är skillnaden: 91 − 72 = 19.
- Kontroll: (72 + 19) ÷ 7 = 91 ÷ 7 = 13. Svarsalternativet 13 lockar den som tror att det tillagda talet måste vara lika med det nya medelvärdet – så är det bara när medelvärdet är oförändrat.
Exempel 3 I klass A fick 10 elever medelpoängen 24 på ett prov. I klass B fick 30 elever medelpoängen 16. Vad är medelpoängen för alla 40 eleverna?
- Gå via summorna. Klass A: 10 × 24 = 240 poäng. Klass B: 30 × 16 = 480 poäng.
- Lägg ihop: 240 + 480 = 720 poäng fördelade på 10 + 30 = 40 elever.
- Medelpoängen blir 720 ÷ 40 = 18.
- Kontroll med vikter: klass A är 1040 = 0,25 av eleverna och B 0,75, vilket ger 0,25 × 24 + 0,75 × 16 = 6 + 12 = 18. Samma svar.
- Rimlighet: 18 ligger närmare 16 än 24, som det ska när den ena gruppen är tre gånger så stor. Medelvärdet av medelvärdena, (24 + 16) ÷ 2 = 20, är fel och finns nästan alltid bland alternativen.