Medelvärde, median och typvärde
XYZKVANOGDTK
Tre lägesmått som beskriver ett typiskt värde – de skiljer sig mest när fördelningen är sned.
Formler
medelvärde = summan av alla värden ÷ antalet värden
Lägg ihop allt och dela med hur många värden det finns. Varje värde påverkar resultatet, även de extrema.
summa = medelvärde × antal
Samma formel baklänges, och den du behöver oftast på provet. Så fort en uppgift ger ett medelvärde och frågar efter en total eller ett saknat värde är det den här vägen.
median = det mittersta värdet när talen står i storleksordning
Vid udda antal värden är medianen ett av talen. Vid jämnt antal är den medelvärdet av de två mittersta.
nytt medelvärde = (gammal summa + nytt värde) ÷ (gammalt antal + 1)
Så flyttar sig medelvärdet när ett värde läggs till. Ligger det nya värdet över det gamla medelvärdet stiger medelvärdet, ligger det under sjunker det.
Så fungerar det
Medelvärde, median och typvärde kallas lägesmått. Alla tre svarar på frågan vad som är ett typiskt värde i en samling tal, men de svarar olika – och provet är byggt kring just den skillnaden.
Medelvärdet fördelar summan jämnt över alla värden. Det använder varje tal i materialet, vilket också är dess svaghet: ett enda extremvärde drar med sig hela medelvärdet. Medianen är värdet i mitten när talen sorterats i storleksordning. Den bryr sig bara om ordningen, inte om hur långt ut ytterlighetsvärdena ligger, och är därför okänslig för extremvärden. Typvärdet är det värde som förekommer flest gånger. Det är det enda lägesmått som fungerar även när materialet inte består av tal, till exempel vanligaste färgen i en undersökning.
I en symmetrisk fördelning ligger de tre måtten ungefär lika. I en sned fördelning glider de isär. Löner, förmögenheter och väntetider har några få mycket höga värden, och då hamnar medelvärdet ovanför medianen. Det är i praktiken den enda skillnad du behöver hålla reda på: enstaka höga värden lyfter medelvärdet men lämnar medianen i stort sett i fred. Därför säger ett påstående om medellönen på en arbetsplats mycket lite om vad en typisk anställd tjänar.
Den formel som lönar sig mest på provet är medelvärdet baklänges, alltså summa = medelvärde × antal. Uppgifter som handlar om ett saknat tal, om vad som händer när ett värde läggs till eller tas bort, eller om att slå ihop två grupper med olika medelvärde, löses nästan alltid genom att man går via summorna i stället för via medelvärdena.
Räknade exempel
Exempel 1 På en liten firma tjänar de fem anställda 26 000, 27 000, 28 000, 29 000 och 120 000 kronor i månaden. Vad är medellönen och vad är medianlönen?
Lösning. Summan blir 26 000 + 27 000 + 28 000 + 29 000 + 120 000 = 230 000 kronor. Medellönen är 230 000 ÷ 5 = 46 000 kronor. Medianen är det tredje värdet när lönerna står i storleksordning, alltså 28 000 kronor. Fyra av fem anställda tjänar mindre än medellönen, vilket visar hur ett enda högt värde drar upp medelvärdet. Medianen påverkas inte alls: byter man ut 120 000 mot 500 000 stiger medellönen till 610 000 ÷ 5 = 122 000 kronor, medan medianen fortfarande är 28 000.
Exempel 2 Medelvärdet av sex tal är 12. Ett sjunde tal läggs till och medelvärdet av alla sju tal blir 13. Vilket är det sjunde talet?
Lösning. Använd summa = medelvärde × antal. De sex första talen har summan 12 × 6 = 72. Alla sju tal har summan 13 × 7 = 91. Det sjunde talet är alltså 91 - 72 = 19. Kontrollen går snabbt att göra i huvudet: de sex gamla talen ligger var och en i genomsnitt 1 under det nya medelvärdet 13, alltså 6 för lite sammanlagt, och det sjunde talet måste därför ligga 6 över 13. Det lockande felsvaret 13 uppstår om man tror att det tillagda talet måste vara lika med det nya medelvärdet, vilket bara gäller om medelvärdet är oförändrat.
Vanliga fällor
- Att svara med medelvärdet när frågan gäller medianen, eller tvärtom. I sneda fördelningar som löner och bostadspriser skiljer de sig kraftigt, och båda talen brukar finnas bland svarsalternativen.
- Att ta medianen utan att först sortera talen. Mittvärdet i listan som den råkar stå skriven är sällan medianen.
- Att vid jämnt antal värden peka ut ett av de två mittersta i stället för att ta medelvärdet av dem.
- Att i KVA anta att medelvärdet alltid är större än medianen. Det gäller vid några få höga värden, men en fördelning med några få mycket låga värden ger tvärtom ett medelvärde under medianen.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i statistik och sannolikhet:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet