En sannolikhet är en andel: hur stor del av alla möjliga utfall som är de vi frågar efter. Svaret ligger därmed mellan 0 och 1, där 0 betyder omöjligt och 1 säkert – ett svar på 1,4 är alltid fel.
Villkoret bakom gynnsamma delat med möjliga
Formeln fungerar bara när utfallen är lika sannolika. En tärning har sex likvärdiga sidor och varje kula i en påse dras med samma chans. Summan av två tärningar är däremot inte lika sannolik för alla värden: 7 kan bildas på sex sätt och 2 på ett enda, så där räknar man på de 36 kombinationerna.
Och, eller, inte
Och betyder multiplikation, med villkoret att händelserna är oberoende – den första får inte ändra sannolikheten för den andra. Eller betyder addition, med villkoret att de utesluter varandra. Villkoren är inga formaliteter: att en tärning visar ett jämnt tal eller ett tal över 4 är inte 36 + 26, för då räknas sexan dubbelt.
Komplementet är det tredje verktyget: sannolikheten att något inte inträffar är 1 minus sannolikheten att det inträffar. Frågor med orden minst en ska nästan alltid vändas – räkna sannolikheten att det inte händer alls och dra bort den från 1.
Räknade exempel
Exempel 1 En påse innehåller 4 röda, 5 blå och 3 gula kulor. Du drar en kula på måfå. Hur stor är sannolikheten att den inte är blå?
- De möjliga utfallen är 4 + 5 + 3 = 12 kulor, alla lika sannolika.
- Sannolikheten att dra en blå är 5 gynnsamma av 12 möjliga, alltså 512.
- Komplementregeln ger P(inte blå) = 1 − 512 = 712.
- Kontroll genom att räkna direkt: gynnsamma är 4 röda plus 3 gula, alltså 7 av 12 – samma svar, så ingen kula har tappats bort.
- Helheten går ihop: 412 + 512 + 312 = 1212 = 1, som en fullständig uppdelning ska göra.
Exempel 2 Du singlar slant tre gånger. Hur stor är sannolikheten att det blir krona minst en gång?
- Orden minst en pekar mot komplementet. Motsatsen är att det blir klave alla tre gångerna.
- Kasten är oberoende – myntet minns inget – så sannolikheterna multipliceras: 12 × 12 × 12 = 18.
- Dra bort från 1: P(minst en krona) = 1 − 18 = 78.
- Kontroll: tre kast ger 2 × 2 × 2 = 8 lika sannolika utfall, och bara ett saknar krona – alltså 7 av 8.
- Den som i stället adderar får 12 + 12 + 12 = 1,5 – omöjligt, eftersom en sannolikhet aldrig kan överstiga 1.
Exempel 3 En tärning kastas. Hur stor är sannolikheten att den visar ett jämnt tal eller ett tal större än 4?
Lösning. De jämna talen är 2, 4 och 6, alltså 36, och talen större än 4 är 5 och 6, alltså 26. Adderat rakt av blir det 56, men sexan finns i båda grupperna och räknas dubbelt – händelserna utesluter inte varandra. Räkna utfallen en gång var i stället: 2, 4, 5 och 6, alltså 46 = 23. Med överlappet borträknat: 36 + 26 − 16 = 46.