Sannolikhetens grunder
XYZKVANOG
Gynnsamma utfall delat med möjliga utfall – svaret är alltid ett tal mellan 0 och 1.
Formler
P = antal gynnsamma utfall ÷ antal möjliga utfall
Gäller när alla utfall är lika sannolika, vilket de är i provets tärningar, myntkast och kulor i påsar. Resultatet ligger alltid mellan 0 och 1.
P(inte A) = 1 - P(A)
Komplementregeln. Innehåller frågan orden minst en eller inte är det här nästan alltid den kortaste vägen.
P(A och B) = P(A) × P(B)
Gäller när händelserna är oberoende, alltså när den ena inte påverkar den andra. Ordet och betyder multiplikation.
P(A eller B) = P(A) + P(B)
Gäller när händelserna utesluter varandra, alltså inte kan inträffa samtidigt. Ordet eller betyder addition, men bara under det villkoret.
Så fungerar det
En sannolikhet är en andel: hur stor del av alla möjliga utfall som är de vi frågar efter. Så länge utfallen är lika sannolika räknar du gynnsamma utfall och delar med totala antalet utfall. Svaret ligger därmed alltid mellan 0 och 1, där 0 betyder omöjligt och 1 betyder säkert. Ett svar på 1,4 är alltid fel, och den kontrollen tar två sekunder.
Två ord styr räkningen. Och betyder multiplikation: sannolikheten att två saker båda inträffar är produkten av deras sannolikheter, förutsatt att de är oberoende av varandra. Eller betyder addition: sannolikheten att antingen den ena eller den andra inträffar är summan, förutsatt att de inte kan inträffa samtidigt. Villkoren är inte formaliteter. Sannolikheten att en tärning visar ett jämnt tal eller ett tal över 4 är inte 3/6 + 2/6, eftersom sexan då räknats två gånger.
Det tredje verktyget är komplementet. Sannolikheten att något inte inträffar är 1 minus sannolikheten att det inträffar. Frågor som innehåller orden minst en ska nästan alltid vändas: räkna sannolikheten att det inte händer någon gång alls och dra bort den från 1. Den direkta vägen kräver att man summerar många fall och är där de flesta felen uppstår.
Slutligen: oberoende betyder verkligen oberoende. Ett mynt har inget minne. Att det visat klave fem gånger i rad ändrar ingenting inför sjätte kastet, som fortfarande har sannolikheten 1/2 för krona.
Räknade exempel
Exempel 1 En påse innehåller 4 röda, 5 blå och 3 gula kulor. Du drar en kula på måfå. Hur stor är sannolikheten att den inte är blå?
Lösning. Påsen innehåller 4 + 5 + 3 = 12 kulor och alla är lika sannolika att dras. Sannolikheten att dra en blå är 5/12. Sannolikheten att inte dra en blå är komplementet: 1 - 5/12 = 7/12. Samma svar får man genom att räkna de gynnsamma utfallen direkt, alltså de 4 röda plus de 3 gula, vilket ger 7 av 12. Att de två vägarna ger samma svar är en bra kontroll på att man inte tappat bort några kulor på vägen.
Exempel 2 Du singlar slant tre gånger. Hur stor är sannolikheten att det blir krona minst en gång?
Lösning. Att räkna alla fall med minst en krona är onödigt jobbigt, de är sju stycken. Räkna i stället på motsatsen. Att få klave alla tre gångerna har sannolikheten 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8, eftersom kasten är oberoende av varandra och ordet och betyder multiplikation. Sannolikheten för minst en krona blir då 1 - 1/8 = 7/8. Det lockande felsvaret är 1/2 + 1/2 + 1/2, alltså att addera kastens sannolikheter, vilket ger 1,5. Att en sannolikhet aldrig kan överstiga 1 avslöjar felet direkt.
Vanliga fällor
- Att addera där man ska multiplicera. Och betyder multiplikation, eller betyder addition, och bara händelser som utesluter varandra får adderas rakt av.
- Att räkna ut minst en direkt i stället för via komplementet 1 - P(ingen). Den direkta vägen kräver många fall och något blir nästan alltid dubbelräknat eller glömt.
- Att tro att tidigare utfall påverkar nästa. Ett mynt som visat klave fem gånger har fortfarande sannolikheten 1/2 för krona i sjätte kastet.
- Att svara med ett antal i stället för en andel, eller med ett tal större än 1. Kontrollen att svaret ligger mellan 0 och 1 kostar ingenting.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i statistik och sannolikhet:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet