NonStopHP träna gratis

Kombinatorik

Statistik och sannolikhet

XYZKVANOG

Räkna antalet möjliga sätt – allt hänger på om ordningen spelar roll eller inte.

Formler

antal sätt = n1 × n2 × … × nk

Multiplikationsprincipen. Görs flera val efter varandra multipliceras antalet möjligheter i varje steg.

ordnat urval av k ur n = n × (n − 1) × … med k faktorer

En faktor per plats, där den valda tas bort ur högen inför nästa. Guld, silver och brons bland 8 löpare: 8 × 7 × 6 = 336 sätt.

oordnat urval = ordnat urval ÷ k!

Spelar ordningen ingen roll har varje uppsättning räknats k! gånger. Tre av 8 löpare till ett lag: 336 ÷ 6 = 56.

Förklaring och 2 räknade exempel

Kombinatorik är konsten att räkna antalet möjligheter utan att skriva upp dem. Grunden är multiplikationsprincipen: sker valet i flera steg multipliceras möjligheterna i varje steg. Fyra tröjor och tre byxor ger 4 × 3 = 12 kombinationer.

Innan du räknar ska två frågor besvaras. Får samma sak väljas igen? En pinkod får ha samma siffra flera gånger, men samma person kan inte få både guld och silver. Spelar ordningen roll? Guld och silver är olika, men två personer i en kommitté är samma kommitté oavsett valordning.

Svaren ger tre fall som täcker nästan allt på provet:

  • Upprepning, ordningen räknas: n × n × … per plats. En fyrsiffrig kod ger 104 = 10 000 möjligheter.
  • Ingen upprepning, ordningen räknas: n × (n − 1) × … med en faktor per plats.
  • Ingen upprepning, ordningen räknas inte: samma produkt dividerad med k!.

Divisionen med k! är hela poängen och det som glöms bort. Rimlighetskontroll: det oordnade antalet är alltid mindre än det ordnade.

Räknade exempel

Exempel 1 En förening med 7 medlemmar ska utse tre till styrelsen. Hur många styrelser är möjliga om (a) de blir ordförande, kassör och sekreterare, respektive (b) alla tre har samma roll?

  1. I (a) är rollerna olika, så ordningen spelar roll.
  2. En faktor per plats, och den valda tas bort ur högen: 7 × 6 × 5 = 210 styrelser.
  3. I (b) har rollerna ingen betydelse, så varje trio har räknats en gång per inbördes ordning, alltså 3! = 6 gånger.
  4. Dividera bort dem: 210 ÷ 6 = 35 styrelser.
  5. Rimlighetskontroll: 35 är mindre än 210, som det ska. Att glömma divisionen och svara 210 på båda är kombinatorikens vanligaste fel.

Exempel 2 En kod består av två bokstäver följda av tre siffror. Bokstäverna väljs bland A, B, C och D, siffrorna bland 0 till 9, och båda får upprepas. Hur många koder finns det?

Lösning. Koden byggs i fem steg, så multiplikationsprincipen gäller. Varje bokstav kan väljas på 4 sätt och varje siffra på 10, eftersom upprepning är tillåten: 4 × 4 × 10 × 10 × 10 = 16 000 koder. Utan upprepning bland bokstäverna hade den andra bara kunnat väljas på 3 sätt: 4 × 3 × 10 × 10 × 10 = 12 000.

Vanliga fallgropar (4)
  • Att glömma dividera med k! när ordningen inte spelar roll. Ett handslag mellan A och B är samma som mellan B och A.
  • Att inte kontrollera om upprepning är tillåten. Skillnaden mellan 4 × 4 och 4 × 3 avgörs av en enda mening.
  • Att addera i stället för att multiplicera i flerstegsval. Tre förrätter och fyra huvudrätter ger 12 menyer, inte 7.
  • Att multiplicera hela vägen ner till 1 vid ett ordnat urval. Väljs 3 av 8 blir det tre faktorer, 8 × 7 × 6, inte 8!.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i statistik och sannolikhet:

Medelvärde, median och typvärde Variationsbredd och spridning Sannolikhetens grunder Beroende händelser och dragning utan återläggning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF