NonStopHP träna gratis

Att utveckla parenteser

Algebra

XYZKVA

Ett minustecken framför en parentes vänder tecknet på varenda term inuti.

Formler

a(b + c) = ab + ac

Distributiva lagen: faktorn utanför multipliceras med varje term inuti, inte bara med den första.

−(b + c) = −b − c

Ett ensamt minustecken framför en parentes är faktorn −1, så alla termer inuti byter tecken.

−a(b − c) = −ab + ac

Minus gånger minus blir plus, så den andra termen blir positiv. Här sitter de flesta teckenfelen.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Varje term i första parentesen möter varje term i den andra. Två termer gånger två termer ger alltid fyra produkter.

Förklaring och 2 räknade exempel

En parentes säger ”räkna ut det här först”. När innehållet inte går att räkna ut, för att det innehåller bokstäver, måste parentesen i stället utvecklas. Då gäller den distributiva lagen: faktorn utanför multipliceras med varje term inuti.

Att 3(x + 4) = 3x + 12 syns om man tänker på vad det betyder – tre stycken (x + 4) är tre x och tre fyror. Detsamma gäller när faktorn är negativ, och det är där poängen tappas. I −3(x + 4) multipliceras varje term med −3, alltså −3x − 12. Ett ensamt minustecken framför en parentes fungerar som faktorn −1: 5 − (x + 4) blir 5 − x − 4, alltså 1 − x. Många skriver 5 − x + 4 och landar på 9 − x, vilket är fel för varje x.

Att multiplicera två parenteser går till på samma sätt, fast varje term i den första parentesen ska möta varje term i den andra. (x + 2)(x + 3) ger x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Antalet produkter är alltid antalet termer i den första parentesen gånger antalet i den andra – har du bara tre av fyra har du missat en.

Åt andra hållet heter samma sak att bryta ut, och att kunna gå båda vägarna är vad algebradelen av provet bygger på.

Räknade exempel

Exempel 1 Förenkla uttrycket 4(2x − 1) − 3(x − 5) så långt som möjligt.

  1. Utveckla den första parentesen: 4 × 2x = 8x och 4 × (−1) = −4, alltså 8x − 4.
  2. Den andra parentesen har faktorn −3, inte 3: −3 × x = −3x och −3 × (−5) = +15, alltså −3x + 15.
  3. Sätt ihop och slå ihop lika termer: 8x − 4 − 3x + 15 blir 5x + 11.
  4. Kontroll med x = 2: ursprunget ger 4 × 3 − 3 × (−3) = 21, och 5 × 2 + 11 = 21. Med x = −3: −28 + 24 = −4, och −15 + 11 = −4.

Exempel 2 Om (x + 3)(x − 2) = x² + ax − 6 för alla x, vad är a?

Lösning. Utveckla vänsterledet: x × x = x², x × (−2) = −2x, 3 × x = 3x och 3 × (−2) = −6. Det ger x² − 2x + 3x − 6, alltså x² + x − 6. Jämför med x² + ax − 6: konstanttermen stämmer, och koefficienten framför x är 1, alltså a = 1. Kontroll med x = 2: vänsterledet blir 5 × 0 = 0, och 4 + 2 − 6 är också 0.

Vanliga fallgropar (4)
  • Att bara multiplicera in faktorn i den första termen, så att 3(x + 4) blir 3x + 4 i stället för 3x + 12.
  • Att glömma vända tecknet på alla termer efter ett minustecken; 5 − (x + 4) är 1 − x, inte 9 − x.
  • Att missa att minus gånger minus blir plus, så att −2(x − 3) skrivs −2x − 6 i stället för −2x + 6.
  • Att bara få tre produkter när två tvåtermiga parenteser multipliceras – det ska alltid bli fyra.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i algebra:

Termer, faktorer och förenkling Kvadrerings- och konjugatregeln Faktorisering och att bryta ut Algebraiska bråk

Fördjupning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF