Att utveckla parenteser
XYZKVA
Ett minustecken framför en parentes vänder tecknet på varenda term inuti.
Formler
a(b + c) = ab + ac
Distributiva lagen: faktorn utanför multipliceras med varje term inuti, inte bara med den första.
−(b + c) = −b − c
Ett ensamt minustecken framför en parentes är faktorn −1, så alla termer inuti byter tecken.
−a(b − c) = −ab + ac
Minus gånger minus blir plus, så den andra termen blir positiv. Här sitter de flesta teckenfelen.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Varje term i första parentesen möter varje term i den andra. Två termer gånger två termer ger alltid fyra produkter.
Så fungerar det
En parentes säger ”räkna ut det här först”. När innehållet inte går att räkna ut, för att det innehåller bokstäver, måste parentesen i stället utvecklas. Då gäller den distributiva lagen: faktorn utanför multipliceras med varje term inuti.
Att 3(x + 4) = 3x + 12 syns om man tänker på vad det betyder – tre stycken (x + 4) är tre x och tre fyror. Detsamma gäller när faktorn är negativ, och det är där poängen tappas. I −3(x + 4) multipliceras varje term med −3, alltså −3x − 12. Ett ensamt minustecken framför en parentes fungerar som faktorn −1: 5 − (x + 4) blir 5 − x − 4, alltså 1 − x. Många skriver 5 − x + 4 och landar på 9 − x, vilket är fel för varje x.
Att multiplicera två parenteser går till på samma sätt, fast varje term i den första parentesen ska möta varje term i den andra. (x + 2)(x + 3) ger x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3, alltså x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Antalet produkter är alltid antalet termer i den första parentesen gånger antalet i den andra. Med två och två blir det fyra produkter – har du bara tre har du missat en.
Åt andra hållet heter samma sak att bryta ut, och att kunna gå båda vägarna är vad hela algebradelen av provet bygger på.
Räknade exempel
Exempel 1 Förenkla uttrycket 4(2x − 1) − 3(x − 5) så långt som möjligt.
Lösning. Utveckla den första parentesen: 4 gånger 2x är 8x och 4 gånger (−1) är −4, alltså 8x − 4. Utveckla den andra med faktorn −3: −3 gånger x är −3x och −3 gånger (−5) är +15, alltså −3x + 15. Tillsammans blir det 8x − 4 − 3x + 15, och lika termer slås ihop till 5x + 11. Kontroll med x = 2: ursprungsuttrycket blir 4 gånger 3 minus 3 gånger (−3), alltså 12 + 9 = 21, och 5 gånger 2 plus 11 är också 21.
Exempel 2 Om (x + 3)(x − 2) = x² + ax − 6 för alla x, vad är a?
Lösning. Utveckla vänsterledet: x gånger x är x², x gånger (−2) är −2x, 3 gånger x är 3x och 3 gånger (−2) är −6. Det ger x² − 2x + 3x − 6, alltså x² + x − 6. Jämför med x² + ax − 6. Konstanttermen stämmer redan, och koefficienten framför x är 1 i det utvecklade uttrycket. Alltså är a = 1.
Vanliga fällor
- Att bara multiplicera in faktorn i den första termen, så att 3(x + 4) blir 3x + 4 i stället för 3x + 12.
- Att glömma vända tecknet på alla termer efter ett minustecken; 5 − (x + 4) är 1 − x, inte 9 − x.
- Att missa att minus gånger minus blir plus, så att −2(x − 3) skrivs −2x − 6 i stället för −2x + 6.
- Att bara få tre produkter när två tvåtermiga parenteser multipliceras – det ska alltid bli fyra.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i algebra:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet