Ett algebraiskt uttryck är tal och bokstäver sammanbundna med räknesätt. Bokstaven står för ett okänt tal, och allt som gäller för tal gäller också för den.
Term, faktor och koefficient
Plus- och minustecknen delar uttrycket i termer: i 3x² + 5x − 4 finns tre stycken, och den sista är −4, för minustecknet hör ihop med termen efter sig. Inuti en term står faktorer, det som multipliceras, så 3x² har faktorerna 3, x och x. Talet framför variabeln är koefficienten. Skillnaden avgör vad du får göra: termer slås ihop, faktorer förkortas bort – aldrig tvärtom.
Bara lika termer får slås ihop
Lika termer har exakt samma variabeldel. 5x och 2x blir 7x, för fem x plus två x är sju x. Men 3x och 2x² är olika storheter så länge x är okänt: för x = 3 är de 9 och 18, för x = −1 är de −3 och 2. Ingen enda term kan ersätta summan, så 3x + 2x² är färdigförenklat – ett fullgott svar.
Att översätta ord till uttryck
Uppgifterna är oftast formulerade i ord, så halva jobbet är gjort när uttrycket står på papper. Sätt x till det du söker och läs meningen bit för bit. ”Fem mer än det dubbla” är 2x + 5, medan ”det dubbla av fem mer” är 2(x + 5) – ordet ”av” drar en parentes runt allt som följer. Summa är addition, produkt multiplikation, differens subtraktion och kvot division. Kontrollera med ett tal: för x = 4 ska ”fem mer än det dubbla” bli 13, vilket 2 × 4 + 5 blir.
Att sätta in ett värde
Insättning är den omvända rörelsen: byt varje x mot talet och räkna ut. Med x = 2 blir 3x² + 5x − 4 lika med 3 × 4 + 5 × 2 − 4 = 18. Sätt parentes runt ett negativt tal du sätter in, annars försvinner tecknet: med x = −2 är 3x² lika med 3 × (−2)² = 12, inte −12. På XYZ är insättning ofta snabbare än att förenkla, på KVA ett sätt att pröva två uttryck mot varandra.
Räknade exempel
Exempel 1 Vad är värdet av uttrycket 5a − 3b + 2a + 4b när a = 3 och b = −2?
- Slå ihop lika termer, en variabel i taget: 5a + 2a = 7a och −3b + 4b = b, alltså 7a + b.
- Sätt in värdena med parentes runt det negativa talet: 7 × 3 + (−2).
- Räkna ut: 21 − 2 = 19.
- Kontroll utan förenkling: 5 × 3 − 3 × (−2) + 2 × 3 + 4 × (−2) = 15 + 6 + 6 − 8 = 19. Samma svar, alltså höll förenklingen.
Exempel 2 Skriv ett uttryck för ”en tredjedel av summan av ett tal och 6”, och beräkna dess värde när talet är −3.
- Kalla talet x. ”Summan av ett tal och 6” är x + 6.
- Ordet ”av” gäller hela summan, så den måste stå inom parentes: (x + 6) ÷ 3.
- Sätt in x = −3: (−3 + 6) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1.
- Kontroll med x = 9: (9 + 6) ÷ 3 = 5, och en tredjedel av 15 är just 5. Utan parentes blir det x + 6 ÷ 3, alltså x + 2, som för x = 9 ger 11.
Exempel 3 x > 1
Kvantitet I: 2x + 2x
Kvantitet II: 2x × 2x
Lösning. Addition av lika termer ger 4x, multiplikationen 4x². Dela båda med 4x, som är positivt eftersom x är större än 1: kvar står 1 mot x, så kvantitet II är större. Testa med x = 3: 12 mot 36.