Ett algebraiskt bråk har bokstäver i täljaren eller nämnaren. Reglerna är desamma som för 34 och 56, men uttrycken blir längre – och det är i längden misstagen gömmer sig.
Gemensam nämnare, även med bokstäver
Addition och subtraktion kräver gemensam nämnare: x3 + x4 förlängs till 4x12 + 3x12 = 7x12. Med variabler i nämnaren blir nämnaren ett uttryck: är de x och y duger produkten xy, så 1x + 1y blir x + yxy, och är den ena en multipel av den andra räcker den större, så x och 2x klarar sig med 2x. Multiplikation och division behöver ingen gemensam nämnare alls: 6 ÷ 23 är 6 × 32 = 9.
Faktorer förkortas, termer aldrig
Det här är algebrans dyraste fälla och den enda regel som är värd att kunna ordagrant: stryk faktorer, alltså sådant som multipliceras med hela täljaren respektive hela nämnaren, aldrig termer i en summa.
- I 6x3x är 3 och x faktorer i båda leden och får strykas – bråket är 2 för varje x utom 0, vilket x = 5 3015 och x = −2 (−12−6) bekräftar.
- I x + 6x + 3 är x en term i två summor, och bråket går inte att förenkla alls: med x = 3 är det 96 = 1,5, med x = 6 är det 129 ≈ 1,33. Ett bråk som ändrar värde kan inte vara 63 = 2.
- I 2x + 62 är 2 en faktor i nämnaren men bara i den ena termen i täljaren. Bryt först ut: 2x + 32, och nu får tvåan strykas. Svaret är x + 3.
Bryt ut först, förkorta sedan – så länge täljaren är en summa får ingenting strykas.
Nämnaren får aldrig vara noll
Ett bråk är odefinierat när nämnaren är 0, så varje algebraiskt bråk bär ett villkor på variabeln. Nollställena hittas genom att faktorisera nämnaren: 1x² − 9 är 1/((x + 3)(x − 3)), alltså förbjudet för 3 och −3. Villkoret överlever förkortningen: (x + 4)(x − 4)x + 4 är x − 4 utom för x = −4.
Räknade exempel
Exempel 1 Skriv 2x + 32x som ett enda bråk, där x inte är 0.
Lösning. Den andra nämnaren är en multipel av den första, så minsta gemensamma nämnare är 2x. Förläng det första bråket med 2, alltså både täljare och nämnare: 2x blir 42x. Nu kan täljarna adderas: 42x + 32x = 72x. Kontroll med x = 1: ursprunget blir 2 + 1,5 = 3,5 och svaret 72, alltså också 3,5.
Exempel 2 Förenkla 4x² + 8x2x så långt som möjligt, där x inte är 0.
- Ur en summa får ingenting strykas. Bryt därför ut först: 4x2 + 8x = 4x(x + 2).
- Nu är täljaren en produkt: 4x(x + 2) ÷ (2x). Faktorn x stryks mot nämnaren, så kvar står 4(x + 2) ÷ 2 = 2x + 4.
- Kontroll med x = 3: (36 + 24) ÷ 6 = 10, och 2 × 3 + 4 = 10. Med x = −1: (4 − 8) ÷ (−2) = 2, och 2 × (−1) + 4 = 2.
- Den som stryker 8x mot 2x utan att bryta ut får 2x² + 4, alltså 22 och 6 – båda kontrollerna faller.