Algebraiska bråk

Algebra

XYZKVA

Bråk med bokstäver följer vanliga bråkregler: gemensam nämnare vid addition, förkorta faktorer.

Formler

a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)

Addition kräver gemensam nämnare. Produkten bd fungerar alltid, även om det ibland finns en mindre gemensam nämnare.

(a/b) × (c/d) = ac/(bd)

Multiplikation sker rakt av: täljare gånger täljare, nämnare gånger nämnare. Ingen gemensam nämnare behövs.

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/(bc)

Division med ett bråk är samma sak som multiplikation med bråket upp och ner.

(k × a)/(k × b) = a/b, där k inte är 0

Förkortning: en faktor som finns i både täljare och nämnare får strykas. En term får aldrig strykas.

Så fungerar det

Ett algebraiskt bråk är ett bråk där täljaren eller nämnaren innehåller bokstäver. Reglerna är exakt desamma som för 3/4 och 5/6 – det är bara siffrorna som bytts ut mot bokstäver – men uttrycken blir längre, och det är i längden misstagen gömmer sig.

Addition och subtraktion kräver gemensam nämnare. För att skriva x/3 + x/4 som ett enda bråk förlänger man till nämnaren 12: 4x/12 + 3x/12 = 7x/12. När nämnarna innehåller bokstäver fungerar det likadant. 1/x + 1/y blir y/(xy) + x/(xy), alltså (x + y)/(xy).

Multiplikation är det enkla fallet: täljare gånger täljare och nämnare gånger nämnare. Division med ett bråk är samma sak som multiplikation med det inverterade bråket. Att 6 ÷ (2/3) blir 6 × 3/2 = 9 stämmer med sunda förnuftet – det går nio tvåtredjedelar på sex.

Förkortning är den regel som oftast används fel. Man får stryka faktorer, alltså sådant som multipliceras, men aldrig termer. I 6x/(3x) är både 3 och x faktorer i täljare och nämnare, så bråket är 2. Men i (x + 6)/(x + 3) är x en term i en summa och får inte strykas – bråket kan inte förenklas alls. Pröva med x = 3: (3 + 6)/(3 + 3) är 9/6, alltså 1,5, medan 6/3 hade gett 2.

Räknade exempel

Exempel 1 Skriv 2/x + 3/(2x) som ett enda bråk.

Lösning. Minsta gemensamma nämnare är 2x. Det första bråket förlängs med 2, alltså både täljare och nämnare: 2/x blir 4/(2x). Nu står det 4/(2x) + 3/(2x), och täljarna kan adderas: 7/(2x). Kontroll med x = 1: ursprunget blir 2 + 1,5 = 3,5 och svaret blir 7/2, alltså också 3,5.

Exempel 2 Förenkla (4x² + 8x)/(2x) så långt som möjligt, där x inte är 0.

Lösning. Bryt först ut det gemensamma i täljaren: 4x² + 8x är 4x(x + 2). Bråket blir 4x(x + 2)/(2x). Faktorn x finns i både täljare och nämnare och stryks, och 4 delat med 2 är 2. Kvar står 2(x + 2), alltså 2x + 4. Kontroll med x = 3: täljaren blir 36 + 24 = 60 och nämnaren blir 6, alltså 10, och 2 gånger 3 plus 4 är också 10.

Vanliga fällor

Att addera bråk genom att lägga ihop täljare och nämnare var för sig – 1/2 + 1/3 är 5/6, inte 2/5.
Att förkorta bort en term i stället för en faktor; x:et i (x + 6)/(x + 3) får inte strykas.
Att förlänga nämnaren men glömma täljaren, så att 2/x blir 2/(2x) i stället för 4/(2x).
Att glömma att nämnaren aldrig får vara noll, vilket ibland stryker ett annars korrekt svar.

Läs mer

Andra begrepp i algebra:

Termer, faktorer och förenkling Att utveckla parenteser Kvadrerings- och konjugatregeln Faktorisering och att bryta ut

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF