NonStopHP träna gratis

Faktorisering och att bryta ut

Algebra

XYZKVA

Att skriva om en summa till en produkt – motsatsen till att utveckla parenteser.

Formler

ab + ac = a(b + c)

Att bryta ut: den gemensamma faktorn a lyfts ut framför parentesen. Multiplicera tillbaka in för att kontrollera.

a² − b² = (a + b)(a − b)

Konjugatregeln baklänges. Fungerar på en differens av två kvadrater, aldrig på en summa.

x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)

Sök två tal vars produkt är konstanttermen och vars summa är koefficienten framför x.

Förklaring och 2 räknade exempel

Att faktorisera är att skriva om en summa som en produkt. En produkt är lättare att arbeta med: den kan förkortas mot en nämnare, och den är noll precis när någon faktor är noll – grunden för att lösa andragradsekvationer.

Det första man alltid provar är att bryta ut den största gemensamma faktorn. I 6x² + 9x finns 3 i båda koefficienterna och x i båda termerna, så 3x lyfts ut: 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Kontrollen är gratis – multiplicera tillbaka in och se att ursprunget kommer igen. Parentesen ska ha lika många termer som du började med: 4x + 4 är 4(x + 1), inte 4(x).

Den andra vägen är att känna igen ett mönster. En differens av kvadrater faktoriseras direkt: x² − 9 är (x + 3)(x − 3), medan summan x² + 9 inte går att faktorisera med provets tal. Ett uttryck som x² + 7x + 12 faktoriseras genom att leta två tal med produkten 12 och summan 7 – det är 3 och 4, alltså (x + 3)(x + 4).

Räknade exempel

Exempel 1 Förenkla bråket x² − 16x + 4, där x inte är lika med −4.

  1. Täljaren är en differens av kvadrater, eftersom 16 = 42: x2 − 16 är (x + 4)(x − 4).
  2. Nu är täljaren en produkt: bråket är (x + 4)(x − 4) ÷ (x + 4), och faktorn (x + 4) stryks. Kvar står x − 4.
  3. Kontroll med x = 6: (36 − 16) ÷ 10 = 2, och 6 − 4 = 2. Kontroll med x = 0: (0 − 16) ÷ 4 = −4, och 0 − 4 = −4.

Exempel 2 Om 7a + 7b = 91, vad är a + b?

Lösning. Bryt ut 7 ur vänsterledet: 7(a + b) = 91. Division med 7 i båda leden ger a + b = 13. Man behöver alltså inte veta a och b var för sig – därför lönar det sig att leta efter en gemensam faktor först.

Vanliga fallgropar (3)
  • Att bara bryta ut ur en del av termerna, så att 4x + 4 blir 4x i stället för 4(x + 1).
  • Att bryta ut för lite, till exempel bara 3 ur 6x² + 9x och missa att även x är gemensamt.
  • Att tro att x² + 9 kan faktoriseras; bara differensen av två kvadrater går, aldrig summan.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i algebra:

Termer, faktorer och förenkling Att utveckla parenteser Kvadrerings- och konjugatregeln Algebraiska bråk

Fördjupning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF