Faktorisering och att bryta ut
XYZKVA
Att skriva om en summa till en produkt – motsatsen till att utveckla parenteser.
Formler
ab + ac = a(b + c)
Att bryta ut: den gemensamma faktorn a lyfts ut framför parentesen. Multiplicera tillbaka in för att kontrollera.
a² − b² = (a + b)(a − b)
Konjugatregeln baklänges. Fungerar bara på en differens av två kvadrater, aldrig på en summa.
x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
Sök två tal vars produkt är konstanttermen och vars summa är koefficienten framför x.
Så fungerar det
Att faktorisera är att skriva om en summa som en produkt. Det låter som en omväg, men en produkt är mycket lättare att arbeta med: den kan förkortas mot en nämnare, och den är noll precis när någon av faktorerna är noll. Det senare är hela grunden för att lösa andragradsekvationer.
Det första man alltid provar är att bryta ut den största gemensamma faktorn. I 6x² + 9x finns 3 i båda koefficienterna och x i båda termerna, så 3x kan lyftas ut: 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Kontrollen är gratis – multiplicera tillbaka in och se att du får tillbaka ursprunget.
Parentesen ska ha lika många termer som du hade från början. Blir det färre har du råkat radera en etta: 4x + 4 blir 4(x + 1), inte 4(x). Varje term måste ju divideras med det du bryter ut, och 4 delat med 4 är 1, inte ingenting.
Den andra vägen är att känna igen ett mönster. En differens av kvadrater faktoriseras direkt: x² − 9 är (x + 3)(x − 3). En summa av kvadrater, x² + 9, går inte att faktorisera med de tal som förekommer på provet. Ett andragradsuttryck som x² + 7x + 12 faktoriseras genom att leta två tal med produkten 12 och summan 7 – det är 3 och 4, alltså (x + 3)(x + 4).
Räknade exempel
Exempel 1 Förenkla bråket (x² − 16)/(x + 4), där x inte är lika med −4.
Lösning. Täljaren är en differens av kvadrater, eftersom 16 är 4². Alltså är x² − 16 lika med (x + 4)(x − 4). Bråket blir (x + 4)(x − 4)/(x + 4), och faktorn (x + 4) förkortas bort eftersom den inte är noll. Kvar står x − 4. Kontroll med x = 6: täljaren blir 36 − 16 = 20 och nämnaren blir 10, alltså 2, och x − 4 är också 2.
Exempel 2 Om 7a + 7b = 91, vad är a + b?
Lösning. Bryt ut 7 ur vänsterledet: 7(a + b) = 91. Division med 7 i båda leden ger a + b = 13. Man behöver alltså inte veta a och b var för sig – det är precis därför det lönar sig att leta efter en gemensam faktor innan man börjar räkna.
Vanliga fällor
- Att bara bryta ut ur en del av termerna, så att 4x + 4 blir 4x i stället för 4(x + 1).
- Att bryta ut för lite, till exempel bara 3 ur 6x² + 9x och missa att även x är gemensamt.
- Att tro att x² + 9 kan faktoriseras; bara differensen av två kvadrater går, aldrig summan.
- Att förkorta ett bråk term för term i stället för faktor för faktor – (x + 4)/4 är inte x.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i algebra:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet