NonStopHP träna gratis

Kvadrerings- och konjugatregeln

Algebra

XYZKVA

Kvadraten på en summa är inte summan av kvadraterna – mittentermen 2ab finns alltid där.

Formler

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Första kvadreringsregeln. Mittentermen 2ab uppstår för att både ab och ba dyker upp när parenteserna multipliceras ihop.

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Andra kvadreringsregeln. Bara mittentermen byter tecken; sista termen förblir positiv, ty (−b)² = b².

(a + b)(a − b) = a² − b²

Konjugatregeln. Mittentermerna +ab och −ab tar ut varandra, så bara kvadraterna blir kvar.

99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1 = 9 999

Konjugatregeln baklänges, för huvudräkning. Kräver att talen ligger lika långt från ett runt tal.

Förklaring och 2 räknade exempel

Reglerna är inga nya sanningar utan genvägar för multiplikationer man annars gör för hand.

Utveckla (a + b)(a + b) term för term så får du a² + ab + ba + b², och eftersom ab och ba är samma sak blir mitten 2ab. Det är alltså 2ab som försvinner när någon skriver (a + b)² = a² + b², sannolikt provets vanligaste algebrafel. Testa med tal: (3 + 4)² är 49 medan 3² + 4² bara blir 25, och skillnaden 24 är precis 2 × 3 × 4.

I andra kvadreringsregeln byter bara mittentermen tecken; sista termen förblir positiv, eftersom ett negativt tal i kvadrat är positivt. I konjugatregeln tar mittentermerna ut varandra helt, så bara a² − b² blir kvar.

Regeln baklänges åt båda hållen

Konjugatregeln läses lika gärna från höger till vänster, och det är där tiden vinns. Från produkt till kvadrater: ligger två tal lika långt från ett runt tal är produkten en differens av kvadrater, så 99 × 101 är 100² − 1 = 9 999. Från kvadrater till produkt: 47² − 43² är (47 + 43)(47 − 43) = 360, utan att någon kvadrat räknas ut – samma steg som faktoriserar x² − 25 till (x + 5)(x − 5). En summa av kvadrater går inte att dela upp så.

Räknade exempel

Exempel 1 Om x + y = 9 och xy = 14, vad är x² + y²?

Lösning. Kvadrera summan med första kvadreringsregeln: (x + y)² = x² + 2xy + y². Vänsterledet är 9² = 81, och 2xy är 2 × 14 = 28. Det ger 81 = x² + y² + 28, så x² + y² = 53. Kontroll: talen 2 och 7 har summan 9 och produkten 14, och 2² + 7² är 4 + 49 = 53.

Exempel 2 Beräkna 99 × 101 utan att multiplicera talen med varandra.

  1. Leta efter ett runt tal mitt emellan: båda ligger 1 från 100, alltså 99 = 100 − 1 och 101 = 100 + 1.
  2. Produkten är (100 − 1)(100 + 1), vilket är konjugatregeln med a = 100 och b = 1.
  3. Regeln ger a2 − b2 = 10 000 − 1 = 9 999.
  4. Kontroll på annat sätt: 99 × 100 + 99 = 9 900 + 99 = 9 999. Villkoret är att talen ligger lika långt från mitten – 98 × 101 går inte att räkna så.
Vanliga fallgropar (5)
  • Att kvadrera (a + b) till a² + b² – mittentermen 2ab faller bort och svaret blir för litet.
  • Att låta sista termen bli negativ i (a − b)²; ett negativt tal i kvadrat är positivt, så b² förblir positivt.
  • Att blanda ihop reglerna: (a + b)(a − b) ger a² − b², medan (a − b)² ger a² − 2ab + b².
  • Att kvadrera 2x till 2x² – hela termen kvadreras, så (2x)² är 4x².
  • Att använda konjugatgenvägen på tal som inte ligger lika långt från mitten; 98 × 101 är inte 100² − 2.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i algebra:

Termer, faktorer och förenkling Att utveckla parenteser Faktorisering och att bryta ut Algebraiska bråk

Fördjupning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF