Kvadrerings- och konjugatregeln
XYZKVA
Kvadraten på en summa är inte summan av kvadraterna – mittentermen 2ab finns alltid där.
Formler
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Första kvadreringsregeln. Mittentermen 2ab uppstår för att både ab och ba dyker upp när parenteserna multipliceras ihop.
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Andra kvadreringsregeln. Bara mittentermen byter tecken; sista termen förblir positiv eftersom (−b)² = b².
(a + b)(a − b) = a² − b²
Konjugatregeln. Mittentermerna +ab och −ab tar ut varandra, så bara de två kvadraterna blir kvar.
Så fungerar det
De tre reglerna är inga nya sanningar. De är genvägar för multiplikationer man annars gör för hand, och de går lika bra att använda baklänges.
Utveckla (a + b)(a + b) term för term så får du a² + ab + ba + b², och eftersom ab och ba är samma sak blir mitten 2ab. Det är alltså 2ab som försvinner när någon skriver (a + b)² = a² + b², och det är sannolikt provets vanligaste algebrafel. Att kvadrera betyder att multiplicera hela uttrycket med sig självt, inte att kvadrera varje del för sig.
Testa med tal om du är osäker: (3 + 4)² är 7², alltså 49, medan 3² + 4² bara blir 9 + 16 = 25. Skillnaden 24 är precis 2ab, det vill säga 2 × 3 × 4.
I andra kvadreringsregeln byter bara mittentermen tecken. Kvadraten på den sista termen är positiv, eftersom ett negativt tal upphöjt till två blir positivt. I konjugatregeln tar mittentermerna ut varandra helt: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b².
Konjugatregeln är guld värd för huvudräkning. 102 × 98 är (100 + 2)(100 − 2), alltså 10 000 − 4 = 9 996. Baklänges används den för att faktorisera: x² − 25 är (x + 5)(x − 5). En summa av kvadrater, som x² + 25, går däremot inte att faktorisera på det sättet.
Räknade exempel
Exempel 1 Om x + y = 9 och xy = 14, vad är x² + y²?
Lösning. Kvadrera summan med första kvadreringsregeln: (x + y)² = x² + 2xy + y². Vänsterledet är 9², alltså 81, och 2xy är 2 gånger 14, alltså 28. Det ger 81 = x² + y² + 28, så x² + y² = 53. Kontroll: talen 2 och 7 har summan 9 och produkten 14, och 2² + 7² är 4 + 49, alltså 53.
Exempel 2 Vad är värdet av 47² − 43²?
Lösning. Det här är konjugatregeln baklänges: a² − b² = (a + b)(a − b). Alltså är 47² − 43² lika med (47 + 43)(47 − 43), det vill säga 90 gånger 4, alltså 360. Att räkna ut kvadraterna var för sig ger samma svar, 2 209 − 1 849 = 360, men tar betydligt längre tid på ett prov med klocka.
Vanliga fällor
- Att kvadrera (a + b) till a² + b² – mittentermen 2ab faller bort och svaret blir för litet.
- Att låta sista termen bli negativ i (a − b)²; ett negativt tal i kvadrat är positivt, så b² är alltid positivt.
- Att blanda ihop reglerna: (a + b)(a − b) ger a² − b², medan (a − b)² ger a² − 2ab + b².
- Att kvadrera 2x till 2x² – hela termen kvadreras, så (2x)² är 4x².
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i algebra:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet