En olikhet löses precis som en ekvation – samma sak görs med båda leden – med ett undantag: multiplicerar eller dividerar man med ett negativt tal vänder olikhetstecknet. Addition och subtraktion vänder aldrig någonting.
Varför tecknet vänder
Det är sant att 2 < 5. Multipliceras båda med −1 blir de −2 och −5, och nu är −2 större än −5, eftersom −5 ligger längre till vänster på tallinjen. Multiplikation med ett negativt tal speglar tallinjen kring nollan, och en spegling kastar om vad som ligger till vänster och vad som ligger till höger – därför måste ordningen vända. Addition speglar ingenting: flyttas båda talen lika långt åt samma håll behåller de sin ordning.
I praktiken
Ur −3x + 2 < 11 följer −3x < 9, och division med −3 vänder tecknet: x > −3. Vill man slippa fällan går det att flytta x-termen dit den blir positiv: −9 < 3x ger −3 < x, samma svar utan någon division med ett negativt tal.
Kontrollera på var sin sida om gränsen
Svaret är ett intervall, och gränsen är där leden är precis lika stora. Testa ett tal på var sida: x = 0 ger vänsterledet 2, och 2 < 11 stämmer, medan x = −5 ger 17, som inte är mindre än 11. Tecknen ≤ och ≥ tar med gränsen, < och > utesluter den.
Räknade exempel
Exempel 1 För vilka värden på x gäller att 4 − 2x < 10?
- Subtrahera 4 från båda leden. Subtraktion rör aldrig olikhetstecknet: −2x < 6.
- Dividera båda leden med −2. Talet är negativt, så olikhetstecknet vänder: x > −3.
- Gränsen är x = −3: där blir vänsterledet precis 10, alltså inte mindre – därför ingår inte −3 i svaret.
- Kontroll med ett tal som ska fungera, x = 0: vänsterledet blir 4, och 4 < 10 stämmer.
- Kontroll på andra sidan gränsen, x = −4: vänsterledet blir 12, och 12 < 10 är falskt. Bara talen till höger om −3 uppfyller olikheten.
Exempel 2 x < −1
Kvantitet I: 2x
Kvantitet II: x
Lösning. Subtrahera x från båda kvantiteterna – subtraktion vänder aldrig en jämförelse. Kvar står x mot 0. Eftersom x är mindre än −1 är x negativt, så kvantitet II är störst. Testa med x = −2: kvantitet I blir −4 och II blir −2, och −2 är större. Fällan är att tro att dubbelt så mycket alltid är mer – det gäller bara positiva tal.