Olikheter
XYZKVA
Löses som ekvationer, men tecknet vänder vid multiplikation eller division med negativt tal.
Formler
Om a < b så är a + c < b + c
Samma tal får adderas till eller subtraheras från båda leden. Olikhetstecknet står kvar oförändrat.
Om a < b och c > 0 så är ac < bc
Multiplikation eller division med ett positivt tal påverkar inte olikhetstecknet.
Om a < b och c < 0 så är ac > bc
Multiplikation eller division med ett negativt tal vänder olikhetstecknet.
−2x < 6 ger x > −3
Ett räknat fall: division med −2 vänder tecknet från mindre än till större än.
Så fungerar det
En olikhet löses precis som en ekvation – samma sak görs med båda leden – med ett viktigt undantag: multiplicerar eller dividerar man med ett negativt tal vänder olikhetstecknet.
Varför? Titta på talen 2 och 5. Det är sant att 2 är mindre än 5. Multipliceras båda med −1 blir de −2 och −5, och nu är −2 större än −5, eftersom −5 ligger längre till vänster på tallinjen. Multiplikation med ett negativt tal speglar hela tallinjen kring nollan, och då byter ”till vänster om” och ”till höger om” plats. Addition har ingen sådan effekt: flyttas båda talen lika långt åt samma håll behåller de sin inbördes ordning.
I praktiken: lös −3x + 2 < 11 genom att först subtrahera 2 från båda leden, alltså −3x < 9, och sedan dividera med −3. Divisionen sker med ett negativt tal, så tecknet vänder: x > −3. Kontroll med x = 0, som uppfyller x > −3: vänsterledet blir 2, och 2 är mindre än 11. Kontroll med x = −5, som inte uppfyller det: vänsterledet blir 15 + 2 = 17, och 17 är inte mindre än 11.
Ett alternativ som helt undviker fällan är att flytta över x-termen till det led där den blir positiv. Ur −3x < 9 får man 0 < 9 + 3x, alltså −9 < 3x och −3 < x. Samma svar, utan att någon gång dividera med ett negativt tal.
Räknade exempel
Exempel 1 För vilka värden på x gäller att 4 − 2x < 10?
Lösning. Subtrahera 4 från båda leden: −2x < 6. Dividera båda leden med −2 och vänd olikhetstecknet, eftersom −2 är negativt: x > −3. Kontroll med x = 0, som ska fungera: vänsterledet blir 4, och 4 är mindre än 10. Kontroll med x = −4, som inte ska fungera: vänsterledet blir 4 + 8 = 12, och 12 är inte mindre än 10 – precis som väntat, eftersom −4 inte är större än −3.
Exempel 2 x < −1 Kvantitet I: 2x Kvantitet II: x
Lösning. Subtrahera x från båda kvantiteterna, vilket är tillåtet eftersom subtraktion aldrig vänder en jämförelse. Kvar står x mot 0. Eftersom x är mindre än −1 är x negativt, alltså mindre än 0, och kvantitet II är därför större än kvantitet I. Testa med x = −2: kvantitet I blir −4 och kvantitet II blir −2, och −2 är större. Fällan är att tänka att dubbelt så mycket alltid är mer – det gäller bara för positiva tal.
Vanliga fällor
- Att glömma vända olikhetstecknet vid multiplikation eller division med ett negativt tal – olikheternas enskilt vanligaste fel.
- Att vända tecknet i onödan när man bara adderar eller subtraherar ett negativt tal; bara multiplikation och division vänder.
- Att multiplicera bort en nämnare som innehåller x utan att veta nämnarens tecken, för då vet man inte om tecknet ska vändas.
- Att svara med ett enda tal när svaret är ett intervall; olikheten x > −3 uppfylls av oändligt många tal.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i ekvationer och olikheter:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet