Förstagradsekvationer
XYZNOG
Gör samma sak med båda leden tills x står ensamt kvar.
Formler
ax + b = c ger x = (c − b)/a
Subtrahera b från båda leden och dividera sedan med a. Kräver att a inte är noll.
Om A = B så är A + k = B + k
Samma tal får adderas till båda leden utan att lösningen ändras. Detsamma gäller subtraktion.
Om A = B så är kA = kB, där k inte är 0
Båda leden får multipliceras eller divideras med samma tal, så länge talet inte är noll.
Så fungerar det
En ekvation är ett påstående om att två uttryck är lika stora. Likhetstecknet fungerar som en våg i balans: gör man exakt samma sak med båda leden står vågen kvar i balans och lösningen ändras inte. Det är hela metoden – resten är räknearbete.
Målet är att få x ensamt i ena ledet. Ordningen som brukar fungera: förenkla varje led för sig genom att lösa upp parenteser och slå ihop lika termer, samla sedan alla x-termer i det ena ledet och alla rena tal i det andra, och dividera till sist med koefficienten framför x.
Ett exempel: 5x − 7 = 2x + 8. Subtrahera 2x från båda leden så att 3x − 7 = 8. Addera 7 till båda leden så att 3x = 15. Division med 3 ger x = 5. Kontroll: vänsterledet blir 25 − 7 = 18 och högerledet 10 + 8 = 18.
Finns det nämnare är första steget nästan alltid att multiplicera hela ekvationen med nämnaren, alltså varje term i båda leden. I x/3 + 2 = 5 ger multiplikation med 3 att x + 6 = 15, alltså x = 9. Multiplicerar man bara den term som hade nämnaren blir det x + 2 = 15 och svaret fel.
Kontrollräkningen kostar tio sekunder och fångar nästan alla teckenfel. På ett prov med tidspress är det den billigaste försäkring som finns.
Räknade exempel
Exempel 1 Om 3(x − 2) = x + 10, vad är x?
Lösning. Utveckla vänsterledet: 3x − 6 = x + 10. Subtrahera x från båda leden: 2x − 6 = 10. Addera 6 till båda leden: 2x = 16. Division med 2 ger x = 8. Kontroll: vänsterledet blir 3 gånger (8 − 2), alltså 18, och högerledet blir 8 + 10, också 18.
Exempel 2 Vad är värdet av x? (I) 4x + 5 = 2x + 17 (II) x/2 + 3 = 6
Lösning. Med (I): subtrahera 2x från båda leden så att 2x + 5 = 17, subtrahera 5 så att 2x = 12, och dividera med 2 så att x = 6. Villkoret räcker alltså ensamt. Med (II): multiplicera hela ekvationen med 2 så att x + 6 = 12, vilket ger x = 6. Även det räcker ensamt. Svaret är att I ensam är tillräcklig, liksom II ensam. På NOG behöver man för övrigt sällan räkna klart – ser man att villkoret ger en förstagradsekvation med en enda obekant vet man redan att den har exakt en lösning.
Vanliga fällor
- Att bara addera eller subtrahera i det ena ledet – vad man gör med vänsterledet måste göras med högerledet också.
- Att glömma multiplicera varje term när ekvationen multipliceras med en nämnare: x/3 + 2 = 5 blir x + 6 = 15, inte x + 2 = 15.
- Att tappa tecknet i sista divisionen, så att −2x = 10 ger x = 5 i stället för x = −5.
- Att hoppa över kontrollen; att sätta in sitt svar i ursprungsekvationen tar sekunder och avslöjar nästan alla teckenfel.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i ekvationer och olikheter:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet