En ekvation säger att två uttryck är lika stora, och likhetstecknet fungerar som en våg i balans: två lika stora saker som behandlas exakt lika förblir lika stora. Därför får leden adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras fritt – så länge båda råkar ut för samma sak. Undantaget är division med noll.
Målet är att få x ensamt: lös upp parenteser, slå ihop lika termer led för led, samla x-termerna på ena sidan och talen på den andra och dividera med koefficienten framför x.
Variabler i båda leden
Samla dem på den sida som ger en positiv koefficient, så slipper du divisionen med ett negativt tal där flest tappar tecknet. I 4 − 2x = 5x + 18 ger addition av 2x till båda leden att 4 = 7x + 18, alltså x = −2.
Bråk i ekvationen
Multiplicera hela ekvationen med den minsta gemensamma nämnaren – varje term i båda leden. Nämnarna i x2 + x3 = 5 är 2 och 3, alltså är minsta gemensamma nämnare 6, och multiplikationen ger 3x + 2x = 30, så x = 6.
När x försvinner helt
Ibland tar x-termerna ut varandra. Är det som står kvar sant, som 0 = 0, gäller ekvationen för varje x; är det falskt, som 0 = 5, saknar den lösning. Så ger 2(x + 3) = 2x + 6 det första fallet och 2(x + 3) = 2x + 1 det andra. På NOG bestämmer ett villkor som ger 0 = 0 ingenting.
Sätt alltid in svaret i ursprungsekvationen och räkna ut leden var för sig – nästan alla teckenfel fastnar i det nätet.
Räknade exempel
Exempel 1 Om 3(x − 2) = x + 10, vad är x?
- Lös upp parentesen – trean multipliceras med båda termerna: 3x − 6 = x + 10.
- Subtrahera x från båda leden, så att x-termen hamnar där koefficienten blir positiv: 2x − 6 = 10.
- Addera 6 till båda leden: 2x = 16.
- Dividera båda leden med 2: x = 8.
- Kontroll i ursprungsekvationen: vänsterledet 3(8 − 2) = 18, högerledet 8 + 10 = 18. Lika, alltså rätt.
Exempel 2 Lös ekvationen x4 + 3 = x2 − 1.
- Nämnarna är 4 och 2, så minsta gemensamma nämnare är 4. Multiplicera varje term i båda leden med 4.
- Term för term: 4 × x4 = x, 4 × 3 = 12, 4 × x2 = 2x och −4. Kvar står x + 12 = 2x − 4.
- Subtrahera x från båda leden: 12 = x − 4.
- Addera 4 till båda leden: x = 16.
- Kontroll i ursprungsekvationen: vänsterledet 4 + 3 = 7, högerledet 8 − 1 = 7. Lika.
Exempel 3 Vad är värdet av x?
(I) 4x + 5 = 2x + 17
(II) x2 + 3 = 6
Lösning. Med (I): subtrahera 2x och sedan 5 så att 2x = 12, alltså x = 6. Kontroll: 24 + 5 = 29 = 12 + 17. Med (II): multiplicera med 2 så att x + 6 = 12, alltså x = 6. Kontroll: 3 + 3 = 6. Båda räcker ensamma – på NOG ser man ofta direkt att en förstagradsekvation med en enda obekant har exakt en lösning.