Ekvationssystem med två obekanta
XYZNOG
Två ekvationer och två obekanta – lös med substitution eller genom att addera leden.
Formler
ax + by = c och dx + ey = f
Ett ekvationssystem: två villkor som ska gälla samtidigt. x och y har samma värden i båda ekvationerna.
y = k − x sätts in i ax + by = c
Substitutionsmetoden: lös ut den ena obekanta ur den enklaste ekvationen och ersätt den i den andra. Kvar blir en ekvation med bara en obekant.
(x + y) + (x − y) = 2x
Additionsmetoden: adderas ekvationerna ledvis försvinner y, eftersom +y och −y tar ut varandra.
Så fungerar det
Ett ekvationssystem är två villkor som ska gälla samtidigt. En ensam ekvation med två obekanta, som x + y = 10, har oändligt många lösningar – det behövs ett villkor till för att låsa fast talen. Det är precis den insikten NOG-uppgifter bygger på: ett villkor som innehåller två okända storheter räcker sällan ensamt.
Substitutionsmetoden
Lös ut den obekanta som är enklast att komma åt och sätt in uttrycket i den andra ekvationen. Ur x + y = 10 fås y = 10 − x. Sätts det in i 2x + y = 14 blir det 2x + (10 − x) = 14, alltså x + 10 = 14 och x = 4. Då är y = 10 − 4 = 6.
Additionsmetoden
Addera eller subtrahera ekvationerna ledvis så att den ena obekanta försvinner. Ibland måste den ena ekvationen först multipliceras med ett tal så att koefficienterna matchar. Med x + y = 10 och 2x + y = 14 ger subtraktion att (2x + y) − (x + y) = 14 − 10, alltså x = 4, samma svar som förut.
Välj metod efter hur systemet ser ut: står en obekant redan ensam är substitution snabbast, står samma koefficient i båda ekvationerna är addition snabbast. Och svara på det som faktiskt efterfrågas – ibland frågas det efter x + y eller efter en prisskillnad, och då behöver man inte lösa ut talen var för sig.
Räknade exempel
Exempel 1 Två pennor och tre suddgummin kostar tillsammans 42 kronor. En penna och tre suddgummin kostar tillsammans 30 kronor. Vad kostar en penna?
Lösning. Kalla pennans pris p och suddgummits pris s. Då gäller 2p + 3s = 42 och p + 3s = 30. Eftersom 3s finns i båda ekvationerna lönar sig additionsmetoden: subtrahera den andra ekvationen från den första, ledvis. Vänsterledet blir 2p + 3s − p − 3s, alltså p, och högerledet blir 42 − 30, alltså 12. Pennan kostar 12 kronor. Kontroll: med p = 12 ger p + 3s = 30 att 3s = 18 och s = 6, och då är 2 gånger 12 plus 3 gånger 6 lika med 24 + 18, alltså 42.
Exempel 2 Anna och Bertil är tillsammans 40 år. Hur gammal är Anna? (I) Anna är 6 år äldre än Bertil. (II) Bertil är 17 år.
Lösning. Uppgiftsstammen ger redan en ekvation, A + B = 40, med två obekanta, och den räcker inte ensam. Med (I) tillkommer A = B + 6. Insättning ger (B + 6) + B = 40, alltså 2B = 34 och B = 17, så Anna är 23 år. (I) räcker alltså. Med (II) är B = 17, och då är A = 40 − 17 = 23. Även (II) räcker. Svaret är att I ensam är tillräcklig, liksom II ensam. Poängen är att stammens information alltid räknas med – varje villkor ska prövas tillsammans med den, aldrig isolerat.
Vanliga fällor
- Att lösa ut x och stanna där när frågan gällde y; läs vad som efterfrågas innan du börjar räkna.
- Att tro att ett villkor med två obekanta kan räcka ensamt på NOG – det gör det bara om uppgiftsstammen redan ger en andra ekvation.
- Att slarva med tecknen vid ledvis subtraktion; hela högerledet ska subtraheras, inte bara dess första term.
- Att bara kontrollera lösningen i den ena ekvationen – ett värdepar måste stämma i båda.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i ekvationer och olikheter:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet