Ett ekvationssystem är två villkor som ska gälla samtidigt. En ensam ekvation med två obekanta, som x + y = 10, har oändligt många lösningar – det behövs ett villkor till för att låsa fast talen. Det är den insikten NOG-uppgifter bygger på: ett villkor med två okända storheter räcker sällan ensamt.
Substitutionsmetoden
Lös ut den obekanta som är enklast att komma åt och sätt in uttrycket i den andra ekvationen. Ur x + y = 10 fås y = 10 − x. Sätts det in i 2x + y = 14 blir det 2x + (10 − x) = 14, alltså x = 4 och y = 6.
Additionsmetoden
Addera eller subtrahera ekvationerna ledvis så att den ena obekanta försvinner. Ibland måste den ena ekvationen först multipliceras med ett tal så att koefficienterna matchar. Med x + y = 10 och 2x + y = 14 tar ledvis subtraktion bort y och lämnar x = 4.
Vilken metod väljer man?
Låt systemet avgöra. Står en obekant redan ensam, eller är någon koefficient en etta, är substitution snabbast – uttrycket är ju färdigt. Står samma term med samma koefficient i båda ekvationerna är addition snabbast, för en ledvis subtraktion tar bort den. Är koefficienterna varandras motsatser adderar man i stället.
Svara på det som efterfrågas – frågas det efter x + y eller en prisskillnad behöver talen inte lösas ut var för sig. Kontrollera i båda ursprungsekvationerna: ett par som bara stämmer i den ena är ingen lösning.
Räknade exempel
Exempel 1 Två pennor och tre suddgummin kostar tillsammans 42 kronor. En penna och tre suddgummin kostar tillsammans 30 kronor. Vad kostar en penna?
- Namnge storheterna med enhet: p = pennans pris i kronor, s = suddgummits pris i kronor.
- Översätt meningarna var för sig: 2p + 3s = 42 och p + 3s = 30.
- Termen 3s står likadant i båda, så additionsmetoden är snabbast. Subtrahera den andra ekvationen från den första, led för led: vänsterledet blir p och högerledet 42 − 30 = 12.
- Pennan kostar alltså 12 kronor.
- Kontroll i båda ursprungsekvationerna: den andra ger 3s = 18, alltså s = 6. Den första blir 24 + 18 = 42 och den andra 12 + 18 = 30. Båda stämmer.
Exempel 2 Anna och Bertil är tillsammans 40 år. Hur gammal är Anna?
(I) Anna är 6 år äldre än Bertil.
(II) Bertil är 17 år.
Lösning. Stammen ger redan en ekvation, A + B = 40, med två obekanta, och den räcker inte ensam. Med (I) tillkommer A = B + 6, där A står ensamt, så substitution är naturligast: (B + 6) + B = 40 ger 2B = 34 och B = 17, alltså A = 23. Med (II) är B = 17 och A = 23. Båda villkoren räcker var för sig. Kontroll: 23 + 17 = 40, och 23 är 6 mer än 17. Stammens information räknas alltid med – pröva aldrig ett villkor isolerat.