Andragradsekvationer
XYZNOG
Ekvationer med x² – lös med faktorisering eller pq-formeln, oftast två rötter.
Formler
x² + px + q = 0 ger x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
pq-formeln. Kräver att ekvationen först skrivs med en etta framför x². p och q sätts in med sina tecken.
Om A × B = 0 så är A = 0 eller B = 0
Nollproduktmetoden. En produkt är noll bara om någon av faktorerna är noll, vilket gör faktoriserade ekvationer nästan självlösta.
x² = a ger x = √a eller x = −√a
En ren andragradsekvation har två lösningar när a är positivt. Roten ur ett tal är alltid positiv, men ekvationen har även den negativa lösningen.
Så fungerar det
En andragradsekvation innehåller x². Att den kan ha två lösningar är inte en kuriositet utan huvudregeln: både 3 och −3 kvadrerade blir 9, så x² = 9 har lösningarna x = 3 och x = −3.
Saknas konstantterm är faktorisering snabbast. I x² − 5x = 0 bryts x ut: x(x − 5) = 0. En produkt är noll bara om någon faktor är noll, alltså är x = 0 eller x = 5. Dividera aldrig bort x i det läget – då försvinner lösningen x = 0 och halva svaret med den.
Annars används pq-formeln, men först måste ekvationen skrivas om till formen x² + px + q = 0 med en etta framför x². Står det 2x² + 6x − 8 = 0 måste hela ekvationen divideras med 2, alltså x² + 3x − 4 = 0. Här är p = 3 och q = −4, och formeln ger x = −1,5 ± √(2,25 + 4), alltså −1,5 ± 2,5. Lösningarna är x = 1 och x = −4.
Tecknen är den vanligaste felkällan, och det är därför p och q ska skrivas ned med sina tecken innan man sätter in dem. I x² − 2x − 8 = 0 är p = −2 och q = −8. Då blir −p/2 lika med +1, och (p/2)² blir (−1)², alltså 1. Under rotmärket står 1 − (−8) = 9, och lösningarna blir 1 ± 3, alltså 4 och −2. Blir talet under rotmärket negativt saknar ekvationen reella lösningar.
Räknade exempel
Exempel 1 Vilka är lösningarna till ekvationen x² − 7x + 10 = 0?
Lösning. Här är p = −7 och q = 10. pq-formeln ger x = 3,5 ± √(3,5² − 10), alltså 3,5 ± √(12,25 − 10) = 3,5 ± √2,25 = 3,5 ± 1,5. Lösningarna är x = 5 och x = 2. Faktorisering ger samma svar snabbare: två tal med produkten 10 och summan −7 är −5 och −2, alltså (x − 5)(x − 2) = 0. Kontroll med x = 5: 25 − 35 + 10 = 0.
Exempel 2 En rektangel är 3 cm längre än den är bred och har arean 40 cm². Hur bred är rektangeln?
Lösning. Kalla bredden b. Längden är då b + 3, och arean ger b(b + 3) = 40, alltså b² + 3b − 40 = 0. Med p = 3 och q = −40 ger pq-formeln b = −1,5 ± √(2,25 + 40) = −1,5 ± √42,25 = −1,5 ± 6,5. Lösningarna är 5 och −8. En bredd kan inte vara negativ, så den negativa roten förkastas och rektangeln är 5 cm bred. Kontroll: 5 gånger 8 är 40.
Vanliga fällor
- Att glömma minustecknet framför p i pq-formeln: i x² − 2x − 8 = 0 är −p/2 lika med +1, inte −1.
- Att använda pq-formeln utan att först dividera bort koefficienten framför x², så att 2x² + 6x − 8 = 0 räknas som om p vore 6.
- Att dividera bort x ur x² − 5x = 0 och därmed tappa lösningen x = 0.
- Att svara med båda rötterna när sammanhanget bara tillåter en, till exempel en negativ längd eller ett negativt antal personer.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i ekvationer och olikheter:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet