NonStopHP träna gratis

Andragradsekvationer

Ekvationer och olikheter

XYZNOG

Ekvationer med x² – lös med faktorisering eller pq-formeln, oftast två rötter.

Formler

x² + px + q = 0 ger x = −p2 ± √(p2² − q)

pq-formeln. Kräver en etta framför x². Sätt in p och q med sina tecken.

Om A × B = 0 så är A = 0 eller B = 0

Nollproduktmetoden. En produkt är noll bara om någon faktor är noll.

x² = a ger x = √a eller x = −√a

Två lösningar när a är positivt, eftersom båda talen kvadrerade blir a.

Förklaring och 2 räknade exempel

En andragradsekvation innehåller x², och två lösningar är huvudregeln: både 3 och −3 kvadrerade blir 9, så x² = 9 har lösningarna 3 och −3.

Nollproduktmetoden

Saknas konstantterm är faktorisering snabbast: x² − 5x = 0 blir x(x − 5) = 0, och då måste någon faktor vara noll, alltså x = 0 eller x = 5. Dividera aldrig bort x – då försvinner lösningen x = 0.

pq-formeln

Annars används pq-formeln, men ekvationen måste först skrivas om till x² + px + q = 0 med en etta framför x²: ur 2x² + 6x − 8 = 0 blir det x² + 3x − 4 = 0.

Skriv ned p och q med sina tecken innan de sätts in – där sitter den vanligaste felkällan. I x² − 2x − 8 = 0 är p = −2 och q = −8, så −p2 blir +1 och rottecknet rymmer 1 − (−8) = 9. Rötterna blir 1 ± 3, alltså 4 och −2. Är talet under rottecknet negativt saknas reella lösningar.

Räknade exempel

Exempel 1 Vilka är lösningarna till ekvationen x² − 7x + 10 = 0?

  1. Ettan står redan framför x2. Skriv ned p och q med sina tecken: p = −7 och q = 10.
  2. Sätt in: x = 3,5 ± √(3,52 − 10).
  3. Under rottecknet: 12,25 − 10 = 2,25, vars rot är 1,5.
  4. Rötterna blir 3,5 + 1,5 = 5 och 3,5 − 1,5 = 2.
  5. Kontroll i ursprungsekvationen: 25 − 35 + 10 = 0 och 4 − 14 + 10 = 0. Båda rötterna ger noll.

Exempel 2 En rektangel är 3 cm längre än den är bred och har arean 40 cm². Hur bred är rektangeln?

Lösning. Kalla bredden b centimeter. Längden är b + 3, så arean ger b² + 3b − 40 = 0. Med p = 3 och q = −40 blir b = −1,5 ± 6,5, alltså 5 eller −8. En bredd kan inte vara negativ: rektangeln är 5 cm bred. Kontroll mot uppgiften: längden 5 + 3 = 8 ger arean 5 × 8 = 40 cm².

Vanliga fallgropar (4)
  • Att glömma minustecknet framför p: i x² − 2x − 8 = 0 är −p2 lika med +1, inte −1.
  • Att glömma dividera bort koefficienten framför x², så att p i 2x² + 6x − 8 = 0 tas för 6.
  • Att dividera bort x ur x² − 5x = 0 och tappa lösningen x = 0.
  • Att svara med båda rötterna när sammanhanget bara tillåter en, som en negativ längd.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i ekvationer och olikheter:

Förstagradsekvationer Ekvationssystem med två obekanta Olikheter Att ställa upp ekvationen ur en text

Fördjupning

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF