Räta linjens ekvation
XYZKVA
Formen y = kx + m, där k är linjens lutning och m dess skärning med y-axeln.
Formler
y = kx + m
k är riktningskoefficienten, alltså lutningen, och m är y-värdet där linjen skär y-axeln.
k = (y2 – y1) ÷ (x2 – x1)
Lutningen räknas ur två punkter på linjen: förändringen i y delat med förändringen i x.
m = y – kx
När k är känd får du m genom att sätta in koordinaterna för en punkt som ligger på linjen.
k1 = k2
Parallella linjer har samma riktningskoefficient. Är linjerna vinkelräta gäller i stället att k1 × k2 = –1.
Så fungerar det
En rät linje beskrivs av y = kx + m. Talet k är riktningskoefficienten: hur mycket y ändras när x ökar med 1. Är k = 3 går linjen tre steg uppåt för varje steg åt höger; är k = –0,5 går den ett halvt steg nedåt. Talet m är linjens värde när x = 0, alltså där den skär y-axeln.
Att k är en förändringstakt gör formeln användbar långt utanför matematiken. I en uppgift om en taxiresa är m startavgiften och k priset per kilometer; i en uppgift om ett abonnemang är m månadsavgiften och k priset per extra enhet. Frågan ”hur mycket kostar varje ytterligare enhet” är alltid en fråga om k.
För att bestämma k ur en graf väljer du två punkter där linjen passerar tydliga skärningar i rutnätet, räknar hur många steg den går uppåt och hur många åt höger, och dividerar. Ordningen på punkterna spelar ingen roll så länge du är konsekvent – byter du håll byter både täljare och nämnare tecken samtidigt, och kvoten blir densamma.
En vågrät linje har k = 0 och ekvationen y = m. En lodrät linje har ingen riktningskoefficient alls, eftersom x inte ändras och man skulle behöva dividera med noll; den skrivs i stället x = a.
Räknade exempel
Exempel 1 En rät linje går genom punkterna (2, 5) och (6, 17). Vilken är linjens ekvation?
Lösning. Riktningskoefficienten är förändringen i y delat med förändringen i x: k = (17 – 5) ÷ (6 – 2) = 12 ÷ 4 = 3. Sätt sedan in en av punkterna i y = 3x + m för att hitta m. Med punkten (2, 5) blir det 5 = 3 × 2 + m, alltså 5 = 6 + m och m = –1. Linjens ekvation är y = 3x – 1. Kontrollera alltid med den andra punkten: 3 × 6 – 1 = 17, vilket stämmer.
Exempel 2 En hantverkare tar 500 kronor i framkörningsavgift och därefter 650 kronor per påbörjad timme. Skriv priset y som funktion av antalet timmar x, och räkna ut vad ett arbete på 4 timmar kostar.
Lösning. Framkörningsavgiften betalas oavsett hur lång tid arbetet tar, så den är konstanten m = 500. Timpriset är det som tillkommer per timme, alltså k = 650. Sambandet blir y = 650x + 500. För fyra timmar: y = 650 × 4 + 500 = 2600 + 500 = 3100 kronor. Den som blandar ihop k och m och räknar 500 × 4 + 650 får 2650 kronor, ett svar som ser tillräckligt rimligt ut för att finnas bland alternativen.
Vanliga fällor
- Att räkna k upp och ner, alltså förändringen i x delat med förändringen i y.
- Att läsa av m på fel ställe i en graf vars x-axel inte börjar vid noll – m är y-värdet exakt vid x = 0.
- Att tappa minustecknet i ett negativt k när linjen lutar nedåt.
- Att blanda ihop k och m i textuppgifter: den fasta avgiften är m, det som betalas per enhet är k.
Fördjupning
Läs mer
Andra begrepp i funktioner och grafer:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet