En rät linje beskrivs av y = kx + m. Talet k är riktningskoefficienten: hur mycket y ändras när x ökar med 1. Är k = 3 stiger linjen tre steg för varje steg åt höger, är k = −0,5 sjunker den ett halvt. Talet m är y-värdet när x = 0, alltså där linjen skär y-axeln.
Bestäm k ur två punkter
Lutningen är Δy ÷ Δx. Ta punkterna i samma ordning i täljaren som i nämnaren. Ur (1, 8) och (5, 2) blir k = (2 − 8) ÷ (5 − 1) = −6 ÷ 4 = −1,5. Byter du håll byter båda leden tecken samtidigt, så kvoten blir densamma. Skriv ut tecknet: en linje som sjunker har negativt k, och det minustecknet tappas oftast. I en graf räknar du steg uppåt mot steg åt höger.
Hitta m ur en punkt
Sätt in en punkt som ligger på linjen och lös ut m. Med k = −1,5 och (1, 8): 8 = −1,5 × 1 + m, alltså m = 9,5. Pröva sedan den andra punkten – stämmer även den är både k och m rätt.
Ligger punkten på linjen?
Sätt in punktens x-värde och se om du får dess y-värde. Mer än så behövs aldrig.
Parallellt, vågrätt och lodrätt
Parallella linjer har samma k och skiljer sig bara i m – de ligger förskjutna uppåt eller nedåt och möts aldrig. En vågrät linje har k = 0 och ekvationen y = m. En lodrät linje saknar riktningskoefficient, eftersom man skulle få dividera med noll; den skrivs x = a.
Räknade exempel
Exempel 1 En rät linje går genom punkterna (2, 5) och (6, 17). Vilken är linjens ekvation?
- Räkna förändringarna, punkterna i samma ordning i båda leden: Δy = 17 − 5 = 12 och Δx = 6 − 2 = 4.
- Dividera: k = 12 ÷ 4 = 3. Linjen stiger, så k ska vara positivt.
- Sätt in en punkt i y = 3x + m. Med (2, 5): 5 = 3 × 2 + m, alltså m = −1.
- Ekvationen är y = 3x − 1.
- Kontroll med den andra punkten: 3 × 6 − 1 = 17, vilket stämmer. Den som räknar k upp och ner får 4 ÷ 12 ≈ 0,33.
Exempel 2 En hantverkare tar 500 kronor i framkörningsavgift och 650 kronor per påbörjad timme. Skriv priset y som funktion av antalet timmar x, och räkna ut vad 4 timmar kostar.
Lösning. Den fasta framkörningsavgiften är konstanten m = 500, timpriset är k = 650, och sambandet blir y = 650x + 500. För fyra timmar: y = 650 × 4 + 500 = 3 100 kronor. Den som blandar ihop k och m och räknar 500 × 4 + 650 får 2 650 kronor – ett svar som brukar finnas bland alternativen.
Exempel 3 Ligger punkten (3, 1) på linjen y = −2x + 7? Vilken ekvation har den linje som är parallell med den och skär y-axeln i −4?
Lösning. Sätt in x = 3: y = −2 × 3 + 7 = 1, precis punktens y-värde, så punkten ligger på linjen. Den parallella linjen har samma lutning, k = −2, och m = −4, alltså y = −2x − 4.