NonStopHP träna gratis

Direkt och omvänd proportionalitet

Funktioner och grafer

XYZKVADTK

Direkt proportionalitet ger konstant kvot, omvänd proportionalitet konstant produkt.

Formler

y = kx

Direkt proportionalitet. k är proportionalitetskonstanten och grafen är en rät linje genom origo.

y ÷ x = k

Vid direkt proportionalitet är kvoten mellan y och x densamma för alla värdepar.

y = k ÷ x

Omvänd proportionalitet. Grafen är en böjd kurva som närmar sig axlarna utan att nå dem.

x × y = k

Vid omvänd proportionalitet är produkten konstant: fördubblas x så halveras y.

Förklaring och 2 räknade exempel

Två storheter är direkt proportionella om den ena alltid är ett fast antal gånger den andra: fördubblas x så fördubblas y, och kvoten y ÷ x är densamma för alla värdepar. Grafen är då en rät linje genom origo, och det sista ledet är själva testet. Ett pris på 25 kronor per kilo är proportionellt mot vikten, men samma pris med en startavgift på 20 kronor är det inte – noll kilo kostar då inte noll kronor.

Två storheter är omvänt proportionella om deras produkt är konstant: fördubblas x så halveras y. Typexemplet är arbete – ju fler som hjälps åt, desto kortare tid, men antal personer gånger antal timmar är oförändrat. Detsamma gäller hastighet och restid.

Greppet är att bestämma konstanten först: k = y ÷ x vid direkt proportionalitet, k = x × y vid omvänd. Fråga dig sedan om den okända storheten ska bli större eller mindre – svaret avslöjar direkt om du använt fel samband.

Räknade exempel

Exempel 1 y är direkt proportionell mot x. När x = 6 är y = 15. Vilket är y när x = 10?

Lösning. Kvoten är konstant: k = 15 ÷ 6 = 2,5. Sambandet är y = 2,5x, och med x = 10 blir y = 25. Samma sak via faktorn: x växer med 10 ÷ 6, och y växer lika mycket, 15 × 10 ÷ 6 = 25.

Exempel 2 Fyra målare målar ett hus på nio dagar. Hur lång tid tar samma arbete för sex målare, om alla arbetar lika fort?

  1. Antalet målare och antalet dagar är omvänt proportionella: produkten är den totala arbetsmängden.
  2. Bestäm konstanten ur det kända paret: 4 × 9 = 36 dagsverken.
  3. Sex målare ska klara samma 36 dagsverken: 36 ÷ 6 = 6 dagar.
  4. Rimlighetskontroll: fler målare ska ge färre dagar, och 6 är mindre än 9. Den som räknar direkt proportionellt, 9 × 6 ÷ 4, får 13,5 dagar – längre tid med fler målare, alltså orimligt.
Vanliga fallgropar (4)
  • Att kalla ett samband proportionellt fast grafen inte går genom origo – en fast avgift förstör proportionaliteten.
  • Att använda direkt proportionalitet där sambandet är omvänt: fler arbetare ger kortare tid, inte längre.
  • Att tro att omvänd proportionalitet betyder att y minskar lika mycket som x ökar – det är produkten som är konstant.
  • Att korsmultiplicera utan att först avgöra vilken sorts samband det handlar om.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i funktioner och grafer:

Räta linjens ekvation Att läsa av grafer Andragradsfunktioner och parabler

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF