Direkt och omvänd proportionalitet
XYZKVADTK
Direkt proportionalitet ger konstant kvot, omvänd proportionalitet konstant produkt.
Formler
y = kx
Direkt proportionalitet. k är proportionalitetskonstanten och grafen är en rät linje genom origo.
y ÷ x = k
Vid direkt proportionalitet är kvoten mellan y och x densamma för alla värdepar.
y = k ÷ x
Omvänd proportionalitet. Grafen är en böjd kurva som närmar sig axlarna utan att nå dem.
x × y = k
Vid omvänd proportionalitet är produkten konstant: fördubblas x så halveras y.
Så fungerar det
Två storheter är direkt proportionella om den ena alltid är ett fast antal gånger den andra. Fördubblas x så fördubblas y, och kvoten y ÷ x är densamma för alla värdepar. I ett koordinatsystem syns det direkt: grafen är en rät linje som går genom origo. Det sista ledet är själva testet. Ett pris på 25 kronor per kilo är direkt proportionellt mot vikten, men samma pris med en fast startavgift på 20 kronor är det inte – då är sambandet linjärt men inte proportionellt, eftersom noll kilo inte kostar noll kronor.
Två storheter är omvänt proportionella om deras produkt är konstant. Fördubblas x så halveras y. Typexemplet är arbete: ju fler som hjälps åt, desto kortare tid tar jobbet, men den totala arbetsmängden – antal personer gånger antal timmar – är oförändrad. Samma sak gäller hastighet och restid för en given sträcka.
Det praktiska greppet är att bestämma konstanten först. Vid direkt proportionalitet räknar du ut k = y ÷ x ur det kända värdeparet, vid omvänd proportionalitet k = x × y. Sedan använder du samma k på det nya värdet. Fråga dig alltid innan du svarar: ska den okända storheten bli större eller mindre? Svaret avslöjar direkt om du råkat använda fel samband.
Räknade exempel
Exempel 1 y är direkt proportionell mot x. När x = 6 är y = 15. Vilket är y när x = 10?
Lösning. Vid direkt proportionalitet är kvoten konstant: k = 15 ÷ 6 = 2,5. Sambandet är alltså y = 2,5x, och med x = 10 blir y = 2,5 × 10 = 25. Ett annat sätt att resonera: x växer från 6 till 10, alltså med faktorn 10 ÷ 6, och y växer med samma faktor: 15 × 10 ÷ 6 = 25.
Exempel 2 Fyra målare målar ett hus på nio dagar. Hur lång tid tar samma arbete för sex målare, om alla arbetar lika fort?
Lösning. Antalet målare och antalet dagar är omvänt proportionella, eftersom produkten av dem är den totala arbetsmängden. Fyra målare i nio dagar är 4 × 9 = 36 dagsverken. Sex målare klarar samma 36 dagsverken på 36 ÷ 6 = 6 dagar. Rimlighetskontroll: fler målare ska ge färre dagar, och 6 är mindre än 9. Den som i stället använder direkt proportionalitet och räknar 9 × 6 ÷ 4 får 13,5 dagar, alltså längre tid med fler målare, vilket är orimligt.
Vanliga fällor
- Att kalla ett samband proportionellt fast grafen inte går genom origo – en fast avgift förstör proportionaliteten.
- Att använda direkt proportionalitet där sambandet är omvänt: fler arbetare ger kortare tid, inte längre.
- Att tro att omvänd proportionalitet betyder att y minskar lika mycket som x ökar; det är produkten som är konstant, inte differensen.
- Att ställa upp en korsvis multiplikation utan att först avgöra vilken typ av samband uppgiften handlar om.
Läs mer
Andra begrepp i funktioner och grafer:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet