Andragradsfunktioner och parabler

Funktioner och grafer

XYZKVA

Funktioner med x² som ger en parabel med ett högsta eller lägsta värde.

Formler

y = ax² + bx + c

Den allmänna formen, a ≠ 0. Konstanten c är kurvans skärning med y-axeln.

a > 0 ger dalparabel, a < 0 ger bergparabel

Tecknet på a avgör om kurvan har ett minsta eller ett största värde.

x = −b ÷ (2a)

Symmetrilinjen. Där ligger parabelns vändpunkt.

x = −(p ÷ 2) ± √((p ÷ 2)² − q)

pq-formeln löser x² + px + q = 0 och ger nollställena.

x_vändpunkt = (x₁ + x₂) ÷ 2

Med båda nollställena kända ligger vändpunkten mitt emellan dem.

Förklaring och 2 räknade exempel

En andragradsfunktion har x² som högsta potens och alltid en parabel som graf. Parabeln är symmetrisk kring en lodrät linje, och där kurvan möter symmetrilinjen ligger dess vändpunkt – det högsta eller lägsta värde funktionen antar.

Koefficienten framför x² bestämmer formen: positiv ger en dal med ett minsta värde, negativ ett berg med ett största. Konstanttermen är kurvans skärning med y-axeln, eftersom x = 0 släcker de andra termerna.

Nollställena är de x-värden där kurvan skär x-axeln, alltså lösningarna när y = 0. En parabel kan skära axeln på två ställen, snudda vid den i en punkt eller missa den helt – därför har en andragradsekvation två, en eller ingen lösning.

Symmetrin är genvägen på provet: vändpunkten ligger exakt mitt emellan nollställena. Hittar du 1 och 5 ligger extremvärdet vid x = 3.

Räknade exempel

Exempel 1 Funktionen y = x² − 6x + 5 är given. Var skär grafen x-axeln, och vilket är funktionens minsta värde?

Sätt y = 0: x² − 6x + 5 = 0, alltså p = −6 och q = 5.
pq-formeln ger x = 3 ± √(3² − 5) = 3 ± √4 = 3 ± 2. Notera att −(p ÷ 2) blir +3.
Grafen skär alltså x-axeln vid x = 1 och x = 5.
Koefficienten framför x² är positiv, så minsta värdet ligger mitt emellan nollställena: x = (1 + 5) ÷ 2 = 3.
Sätt in: y = 3² − 6 × 3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4. Minsta värdet är −4, antaget i punkten (3, −4).

Exempel 2 En bolls höjd i meter ges av h = 20t − 5t², där t är tiden i sekunder. När är bollen som högst, och hur högt kommer den?

Lösning. Sök nollställena: bryt ut t ur 20t − 5t² = 0, alltså t × (20 − 5t) = 0, som ger t = 0 och t = 4. Koefficienten framför t² är negativ, så kurvan är en bergparabel och högsta punkten ligger mitt emellan: t = 2 sekunder, och h = 20 × 2 − 5 × 2² = 40 − 20 = 20 meter.

Vanliga fallgropar (4)

Att tappa tecken i pq-formeln: är p = −6 blir −(p ÷ 2) lika med +3, inte −3.
Att tro att största eller minsta värdet ligger vid ett nollställe – det ligger mitt emellan dem.
Att blanda ihop nollställets x-värde med funktionens y-värde; frågan om högsta värdet gäller y.
Att glömma att en parabel kan sakna nollställen helt.

Öva på det här begreppet i appen

Fler begrepp

Andra begrepp i funktioner och grafer:

Räta linjens ekvation Direkt och omvänd proportionalitet Att läsa av grafer

Tillbaka till hela formelbladet · Alla formler att skriva ut

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF