Andragradsfunktioner och parabler
XYZKVA
Funktioner med x² som ger en parabel med ett högsta eller lägsta värde.
Formler
y = ax² + bx + c
Den allmänna formen, där a inte får vara 0. Konstanten c är y-värdet där kurvan skär y-axeln.
a > 0 ger dalparabel, a < 0 ger bergparabel
Tecknet på a avgör om kurvan öppnar uppåt och har ett minsta värde, eller nedåt och har ett största värde.
x = –b ÷ (2a)
Symmetrilinjen. Vid detta x-värde ligger parabelns vändpunkt, alltså dess högsta eller lägsta punkt.
x = –(p ÷ 2) ± √((p ÷ 2)² – q)
pq-formeln löser ekvationen x² + px + q = 0 och ger kurvans nollställen, alltså där den skär x-axeln.
xvändpunkt = (x1 + x2) ÷ 2
Har du hittat de två nollställena ligger vändpunkten exakt mitt emellan dem, tack vare symmetrin.
Så fungerar det
En andragradsfunktion har x² som högsta potens och alltid en parabel som graf. Parabeln är symmetrisk kring en lodrät linje, och där kurvan möter symmetrilinjen ligger dess vändpunkt – det högsta eller lägsta värdet funktionen antar.
Koefficienten framför x² bestämmer formen. Är den positiv öppnar parabeln uppåt som en dal och har ett minsta värde; är den negativ öppnar den nedåt som ett berg och har ett största värde. Ju större belopp koefficienten har, desto smalare blir kurvan. Konstanttermen är alltid y-värdet där kurvan skär y-axeln, eftersom x = 0 får de båda andra termerna att försvinna.
Nollställena är de x-värden där kurvan skär x-axeln, alltså lösningarna till ekvationen när y sätts till noll. En parabel kan skära x-axeln på två ställen, precis snudda vid den i en enda punkt, eller missa den helt – och det är därför en andragradsekvation kan ha två, en eller ingen lösning.
Symmetrin är genvägen på provet. Eftersom kurvan är spegelsymmetrisk ligger vändpunkten exakt mitt emellan nollställena. Hittar du nollställena 1 och 5 vet du att extremvärdet ligger vid x = 3, och då återstår bara att sätta in det värdet i funktionen. Av samma symmetri följer att två olika x-värden ger samma y-värde – något som en KVA-uppgift gärna utnyttjar när den ber dig jämföra funktionsvärden.
Räknade exempel
Exempel 1 Funktionen y = x² – 6x + 5 är given. Var skär grafen x-axeln, och vilket är funktionens minsta värde?
Lösning. Nollställena hittas genom att sätta y = 0, alltså lösa x² – 6x + 5 = 0. Här är p = –6 och q = 5, och pq-formeln ger x = 3 ± √(3² – 5) = 3 ± √4 = 3 ± 2. Grafen skär alltså x-axeln vid x = 1 och x = 5. Eftersom koefficienten framför x² är positiv öppnar parabeln uppåt och har ett minsta värde, och det ligger mitt emellan nollställena: x = (1 + 5) ÷ 2 = 3. Insättning ger y = 3² – 6 × 3 + 5 = 9 – 18 + 5 = –4. Minsta värdet är –4 och antas i punkten (3, –4).
Exempel 2 En boll kastas rakt upp. Höjden i meter ges av h = 20t – 5t², där t är tiden i sekunder efter kastet. När är bollen som högst, och hur högt kommer den?
Lösning. Bollen är på marken när h = 0. Bryt ut t: t × (20 – 5t) = 0, vilket ger t = 0 (kastögonblicket) och 20 – 5t = 0, alltså t = 4 sekunder (nedslaget). Koefficienten framför t² är negativ, så kurvan är en bergparabel med sitt största värde mitt emellan nollställena: t = (0 + 4) ÷ 2 = 2 sekunder. Höjden då är h = 20 × 2 – 5 × 2² = 40 – 20 = 20 meter. Bollen är alltså som högst efter 2 sekunder, på 20 meters höjd.
Vanliga fällor
- Att tappa tecken i pq-formeln när p är negativt: i x² – 6x + 5 är p = –6, så –(p ÷ 2) blir +3.
- Att tro att det största eller minsta värdet ligger vid ett nollställe – det ligger mitt emellan dem.
- Att blanda ihop nollställets x-värde med funktionens y-värde; frågan om det högsta värdet gäller nästan alltid y.
- Att glömma att en parabel kan sakna nollställen helt, och därför leta efter en lösning som inte finns.
Läs mer
Andra begrepp i funktioner och grafer:
Läs mer
- Högskoleprovet
- Gamla högskoleprov
- Normering av högskoleprovet
- Vanliga frågor om högskoleprovet
- Formelblad för högskoleprovet