Ett påstående om alla tal är sant bara om det stämmer utan ett enda undantag. Det gör påståenden asymmetriska: att visa att ett är sant kräver ett generellt bevis, medan ett enda motexempel räcker för att fälla det. Hur många exempel som stämmer du än radar upp bevisar de ingenting – hundra bekräftelser väger lättare än ett undantag. På provet behöver du nästan alltid den fällande riktningen.
Samma verktyg i KVA och NOG
I KVA väljer du mellan att kvantitet I är störst, att II är störst, att de är lika stora, eller att informationen är otillräcklig. Ger två tillåtna värden olika svar är det sista alternativet rätt.
I NOG gör du samma sak mot en fråga: hittar du två scenarier som båda uppfyller påståendet men ger olika svar på frågan, är påståendet otillräckligt. Motexempelsjakten är därför den snabbaste vägen genom båda delproven – ett lyckat motexempel avslutar uppgiften på stället.
Testvärden som lönar sig
- 0 – nollställer allt som multipliceras och gör ofta två uttryck lika stora.
- 1 – är neutralt vid multiplikation, så 1, 1² och √1 är samma tal.
- Ett negativt tal, till exempel −2 – vänder olikheter vid multiplikation och gör kvadrater positiva.
- Ett bråk mellan 0 och 1, till exempel 12 – kvadraten blir mindre än talet självt och inversen större, tvärtemot intuitionen.
Läs alltid vilka värden som är tillåtna innan du testar. Står det att x är ett positivt heltal faller både 0 och bråken bort, och då kan påståendet mycket väl vara sant. Ett motexempel som bryter mot uppgiftens villkor bevisar ingenting alls.
Exempel
Exempel 1 Kvantitet I är x² och kvantitet II är x. Vilken kvantitet är störst? Alternativen är I, II, lika stora, eller otillräcklig information.
- Läs vilka värden som är tillåtna innan du testar. Här står ingen begränsning alls, så x får vara noll, negativt eller ett bråk.
- Testa x = 2: kvantitet I blir 4 och kvantitet II blir 2, alltså är I störst.
- Testa ett bråk mellan 0 och 1, x = 12: kvantitet I blir 14 medan kvantitet II är 12, alltså är II störst.
- Två tillåtna värden gav olika svar, och ett enda sådant par fäller alla tre bestämda alternativen. Rätt svar är att informationen är otillräcklig – fler tester behövs inte.
- Se vad ett villkor hade gjort: stod det att x är ett heltal större än 1 vore 12 förbjudet, och då är I störst. Den som bara provar 2 och 3 svarar så ändå – uppgiftens fälla.
Exempel 2 Stämmer påståendet att varje tal som är delbart med 4 också är delbart med 8? Hitta ett motexempel om det är falskt.
Lösning. Talet 12 är delbart med 4, eftersom 12 ÷ 4 = 3, men inte med 8, eftersom 12 ÷ 8 = 1,5. Ett enda sådant tal fäller påståendet, och det spelar ingen roll att 8, 16 och 24 alla uppfyller det – bekräftelser bevisar aldrig ett alla-påstående. Fler motexempel är 4, 20 och 28. Det omvända påståendet är däremot sant: varje tal delbart med 8 är också delbart med 4, eftersom 8 innehåller 4 som faktor. Att ett påstående är falskt säger alltså ingenting om dess omvändning.