Att hitta motexempel

KVANOG

Ett enda motexempel räcker för att slå ut ett påstående som ska gälla alla tal.

Så fungerar det

Ett påstående som handlar om alla tal är sant bara om det stämmer utan ett enda undantag. Det gör påståenden asymmetriska: för att visa att ett är sant måste du bevisa det generellt, men för att visa att det är falskt räcker ett enda motexempel. På provet är det nästan alltid den andra riktningen du behöver.

Metoden är själva kärnan i KVA, där du jämför två kvantiteter och väljer mellan fyra alternativ: att kvantitet I är störst, att kvantitet II är störst, att de är lika stora, eller att informationen är otillräcklig. Hittar du två tillåtna värden som ger olika svar är det sista alternativet rätt – och det avgörandet kräver inga uträkningar utöver de två testerna.

Testvärden som lönar sig att alltid pröva:

0 – nollställer allt som multipliceras och gör ofta två uttryck lika stora.
1 – är neutralt vid multiplikation, så 1, 1² och √1 är samma tal.
Ett negativt tal, till exempel -2 – vänder olikheter vid multiplikation och gör kvadrater positiva.
Ett bråk mellan 0 och 1, till exempel 1/2 – här blir kvadraten mindre än talet självt och inversen större, tvärtemot vad intuitionen säger.

Läs alltid vilka värden som faktiskt är tillåtna innan du testar. Står det att x är ett positivt heltal faller både 0 och bråken bort, och då kan påståendet mycket väl vara sant. Ett motexempel som bryter mot uppgiftens villkor bevisar ingenting alls.

Räknade exempel

Exempel 1 Kvantitet I är x² och kvantitet II är x. Vilken kvantitet är störst? Alternativen är att I är störst, att II är störst, att de är lika stora, eller att informationen är otillräcklig.

Lösning. Testa x = 2: kvantitet I blir 4 och kvantitet II blir 2, alltså är I störst. Testa sedan x = 1/2: kvantitet I blir 1/4 och kvantitet II är 1/2, alltså är II störst. Två tillåtna värden gav två olika svar, och därmed är rätt alternativ att informationen är otillräcklig. Fler tester bekräftar bilden: x = 0 och x = 1 ger lika stora kvantiteter, och x = -2 ger I = 4 och II = -2. Den som bara provar 2 och 3 svarar att I är störst och går på precis den fälla uppgiften är byggd kring. Hade uppgiften lagt till att x är ett heltal större än 1 hade svaret däremot varit att I är störst.

Exempel 2 Stämmer påståendet att varje tal som är delbart med 4 också är delbart med 8? Hitta ett motexempel om det är falskt.

Lösning. Talet 12 är delbart med 4, eftersom 12 ÷ 4 = 3, men inte med 8, eftersom 12 ÷ 8 = 1,5. Ett enda sådant tal räcker för att påståendet ska vara falskt, och det spelar ingen roll att 8, 16 och 24 alla uppfyller det. Andra motexempel är 4, 20 och 28. Notera däremot att det omvända påståendet är sant: varje tal som är delbart med 8 är också delbart med 4, eftersom 8 innehåller 4 som faktor. Att ett påstående är falskt säger alltså ingenting om dess omvändning.

Vanliga fällor

Att nöja sig med ett enda testvärde. Att ett test ger I störst utesluter inte att ett annat tillåtet värde ger tvärtom.
Att bara testa positiva heltal. De flesta KVA-fällor bygger på 0, på negativa tal eller på bråk mellan 0 och 1.
Att tro att flera exempel som stämmer bevisar påståendet. Hundra bekräftelser väger lättare än ett enda motexempel.
Att strunta i uppgiftens villkor. Ett testvärde som inte är tillåtet, till exempel 0 när talet ska vara positivt, bevisar ingenting.

Läs mer

Andra begrepp i logik och tillräcklig information:

Så avgör du om informationen räcker Logiska slutledningar

Tillbaka till hela formelbladet

Läs mer

Guider till delproven

XYZ KVA NOG DTK ORD LÄS MEK ELF